Em um sítio, há 30 m de tela para delimitar uma área retangular para a construção de um canil. Utilizando uma parede já existente, calcule as dimensões para que a área do canil seja máxima. Qual é essa área?
Passo 1
O enunciado pede que, com
m de tela, a gente construa um canil retangular usando uma parede já existente como um dos lados, de modo que a área seja máxima. O conteúdo é otimização de função com restrição, que vamos resolver escrevendo a área em função de uma única variável e usando derivada para encontrar o máximo.
Passo 2
Escolhemos as variáveis: seja
a profundidade do canil (os dois lados perpendiculares à parede) e
a largura paralela à parede. Como só precisamos cercar três lados, a restrição de comprimento de tela é
Isolando
, temos
A área
do retângulo é
Passo 3
Para achar o máximo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Passo 4
Com
m, a largura é
A área máxima fica
Resposta
A profundidade deve ser
em cada lado perpendicular, a largura paralela à parede
, e a área máxima é
.