Em um sítio, há 30 m de tela para delimitar uma área retangular para a construção de um canil. Utilizando uma parede já existente, calcule as dimensões para que a área do canil seja máxima. Qual é essa área?

Passo 1

O enunciado pede que, com 30 m de tela, a gente construa um canil retangular usando uma parede já existente como um dos lados, de modo que a área seja máxima. O conteúdo é otimização de função com restrição, que vamos resolver escrevendo a área em função de uma única variável e usando derivada para encontrar o máximo.

Passo 2

Escolhemos as variáveis: seja x a profundidade do canil (os dois lados perpendiculares à parede) e y a largura paralela à parede. Como só precisamos cercar três lados, a restrição de comprimento de tela é
2x + y = 30
Isolando y, temos
y = 30 - 2x
A área A do retângulo é
A = x cdot y = x,(30 - 2x) = 30x - 2x^2

Passo 3

Para achar o máximo, derivamos A em relação a x e igualamos a zero:
A'(x) = 30 - 4x,
30 - 4x = 0 Rightarrow x = 304 = 7,5

Passo 4

Com x = 7,5 m, a largura é
y = 30 - 2cdot 7,5 = 15 m
A área máxima fica
Amax = 7,5 times 15 = 112,5 m^2

Resposta

A profundidade deve ser ,7,5 m em cada lado perpendicular, a largura paralela à parede 15 m, e a área máxima é ;112,5 m^2.

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