5.4L Encontre a edo de primeira ordem com a seguinte família de curvas integrais:
x^2+y^2=2 C x

Passo 1

O enunciado nos dá a família de curvas
x^2+y^2=2,C,x
e pede a equação diferencial de primeira ordem que tem essa família como solução geral. Vamos usar a técnica de diferenciar em relação a x para eliminar a constante C.

Passo 2

Da equação da família, isolamos C:
x^2+y^2=2,C,x Longrightarrow C=x^2+y^22,x

Passo 3

Diferenciamos a equação da família em relação a x, tratando C como constante:
ddx(x^2+y^2)=ddx(2,C,x)
2,x+2,y,y'=2,C

Passo 4

Substituímos a expressão de C do passo 2 na equação derivada:
2,x+2,y,y' =2;x^2+y^22,x =x^2+y^2x
Multiplicando ambos os lados por x:
2,x^2+2,x,y,y'=x^2+y^2 Longrightarrow 2,x,y,y'=y^2-x^2

Passo 5

Isolamos y':
y'=y^2-x^22,x,y

Resposta

dydx=y^2-x^22,x,y

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