Procure as assíntotas horizontais e verticais da curva y=x^2-3 x+2x^3-4 x.

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais e verticais da curva
y = x^2 - 3x + 2x^3 - 4x
O conteúdo envolvido é funções racionais e assíntotas. Para resolver, vamos fatorar numerador e denominador, simplificar a expressão e aplicar as definições de assíntota vertical (quando o denominador tende a zero sem cancelamento) e assíntota horizontal (comparação de graus).

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2), x^3 - 4x = x(x^2-4)=x(x-2)(x+2)
Daí
y = (x-1)(x-2)x(x-2)(x+2) = x-1x(x+2), xneq2
Note que em x=2 houve cancelamento, resultando num furo, não numa assíntota.

Passo 3

Assíntotas verticais surgem quando o denominador da forma simplificada zera sem cancelamento e o valor da função diverge. Aqui o denominador é x(x+2), que zera em x=0 e x=-2. De fato,
limxto0^pmx-1x(x+2)=pminfty, limxto(-2)^pmx-1x(x+2)=mpinfty
Logo há assíntotas verticais em x=0 e x=-2.

Passo 4

Para a assíntota horizontal comparamos os graus do numerador ( 2) e do denominador ( 3). Como o grau do denominador é maior, temos
limxtopminftyy=0,
portanto a assíntota horizontal é y=0.

Resposta

Assíntotas verticais: x=0 e x=-2.
Assíntota horizontal: y=0.

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