Identifique e represente geometricamente a fronteira dos seguintes conjuntos:
Passo 1
O enunciado pede a fronteira do conjunto
Para encontrar a fronteira , vamos usar a definição
onde C é o fecho de C e int(C) é o interior de C.
Passo 2
Primeiro, note que C é definido por uma desigualdade estrita e a função xmapsto1/x é contínua em xneq0. Isso faz com que C seja um aberto em R^2. Portanto
int(C)=C
Passo 3
Agora vamos achar o fecho C. Qualquer ponto sobre a curva
y=1x, xneq0,
é limite de pontos de C vindos de cima da curva, e deve entrar em C. Além disso, pontos da reta vertical x=0 também são limites de sequências em C (por xto0^-) e devem pertencer ao fecho. Logo
C =l(x,y)inR^2: xneq0,;y>=tfrac1xr ;cup;l(0,y)inR^2: yinRr
Passo 4
Aplicando partial C = Csetminus C, como int(C)=C, obtemos
partial C =l(x,y):xneq0,;y=tfrac1xr ;cup;l(0,y):yinRr
Passo 5
Geometricamente, partial C é a união da curvay=1/x (as duas ramas da hipérbole) com a reta verticalx=0 (o eixo y-vertical).
Resposta
partial C =l(x,y)inR^2: xneq0,;y=tfrac1xr ;cup;l(0,y)inR^2: yinRr