Identifique e represente geometricamente a fronteira dos seguintes conjuntos:
C=((x, y) in R^2: y>1x)

Passo 1

O enunciado pede a fronteira do conjunto
C = l(x,y)inR^2: y>tfrac1xr
Para encontrar a fronteira partial C, vamos usar a definição
partial C = C setminus int(C),
onde C é o fecho de C e int(C) é o interior de C.

Passo 2

Primeiro, note que C é definido por uma desigualdade estrita e a função xmapsto1/x é contínua em xneq0. Isso faz com que C seja um aberto em R^2. Portanto
int(C)=C

Passo 3

Agora vamos achar o fecho C. Qualquer ponto sobre a curva
y=1x, xneq0,
é limite de pontos de C vindos de cima da curva, e deve entrar em C. Além disso, pontos da reta vertical x=0 também são limites de sequências em C (por xto0^-) e devem pertencer ao fecho. Logo
C =l(x,y)inR^2: xneq0,;y>=tfrac1xr ;cup;l(0,y)inR^2: yinRr

Passo 4

Aplicando partial C = Csetminus C, como int(C)=C, obtemos
partial C =l(x,y):xneq0,;y=tfrac1xr ;cup;l(0,y):yinRr

Passo 5

Geometricamente, partial C é a união da curva y=1/x (as duas ramas da hipérbole) com a reta vertical x=0 (o eixo y-vertical).

Resposta

partial C =l(x,y)inR^2: xneq0,;y=tfrac1xr ;cup;l(0,y)inR^2: yinRr

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