3.4L Usando a representação ln (1-t)=-sumn=0^infty t^n+1n+1,|t|<1, calcule ln (1.2) com 3 casas decimais e compare o valor com o resultado obtido em uma calculadora.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar ln(1.2) com três casas decimais usando a série
ln(1 - t);=;-,sumn=0^inftyt^n+1n+1, |t|<1
ou seja, vamos usar desenvolvimento em série de Taylor (série de Maclaurin) e o critério de estimativa de erro para séries alternadas.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, note que
ln(1.2)=lnl(1-(-0.2)r),
portanto em ln(1-t) tomamos t=-0.2. Substituindo, obtemos a série alternada
ln(1.2) =;-sumn=0^infty(-0.2)^n+1n+1 =sumk=1^infty(-1)^k-1,(0.2)^kk

Passo 3

Para garantir três casas decimais corretas, usamos o critério da série alternada: o erro ao truncar na enésima parcela é no máximo o valor da parcela seguinte. Queremos erro absoluto menor que 0,5times10^-3=0,0005.

Passo 4

Calculamos algumas somas parciais SK=sumk=1^K(-1)^k-10.2^kk e examinamos a próxima parcela:
k=1:
S1=0.2
k=2:
S2=0.2- 0.2^22=0.2-0.02=0.18
k=3:
S3=0.18+ 0.2^33 =0.18+0.00266667=0.18266667
k=4:
S4=0.18266667- 0.2^44 =0.18266667-0.0004=0.18226667
A parcela seguinte é 0.2^55=0.000064<0.0005, portanto S4 já garante erro menor que 0,0005. Assim,
ln(1.2)approx S4=0.18226667Longrightarrow 0.182 com três casas decimais ê

Passo 5

Usando calculadora, ln(1.2)approx0.18232156. A nossa aproximação 0.182 difere em cerca de 0.000055, isto é, está correta até a terceira casa decimal.

Resposta

ln(1.2)approx0.182 (três casas decimais pelo desenvolvimento em série).
Valor de calculadora: ln(1.2)approx0.18232156.

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