Seja f: R C uma função tal que f(x) neq 0 para todo x in R. Mostre que:
Se f é uma função par, então 1f também é uma função par.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função fcolon RtoC que nunca zera ( f(x)neq0 para todo x). O objetivo é mostrar que, se f é par (isto é, f(-x)=f(x) para todo x), então sua recíproca também é par.

Passo 2

Definimos a função gcolonRtoC por
g(x)=1f(x)
Como f(x)neq0, g está bem definida. Agora, se f é par, então
forall xinR, f(-x)=f(x)

Passo 3

Para ver que g é par, basta calcular
g(-x)=1f(-x)
e usar a paridade de f:
g(-x)=1f(x)=g(x)
Assim, g(-x)=g(x) para todo x, logo g é par.

Resposta

A função tfrac1f é par.

Exercícios relacionados