(4,0) Calcule, se existirem:
lim x a(1x-a+2-a(x-a)(x-2)), onde a neq 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto al(1x-a+2-a(x-a)(x-2)r),
sabendo que aneq2. O conteúdo é limite de função racional que apresenta indeterminação na forma “ infty-infty” ou “ 0/0”, e vamos resolvê-lo por simplificação algébrica, somando as frações num denominador comum.

Passo 2

Observamos que ambas as parcelas têm o fator comum x-a no denominador. Vamos colocar tudo sobre o mesmo denominador (x-a)(x-2):
1x-a = x-2(x-a)(x-2), 2-a(x-a)(x-2) = 2-a(x-a)(x-2)
Somando as duas frações, obtemos
x-2(x-a)(x-2) + 2-a(x-a)(x-2) = (x-2)+(2-a)(x-a)(x-2)

Passo 3

No numerador,
(x-2)+(2-a) = x - 2 + 2 - a = x - a
Logo a expressão vira
x-a(x-a)(x-2) = 1x-2, xneq a

Passo 4

Agora a função está livre de indeterminação em x=a, então basta substituir x=a no resultado:
limxto a1x-2 = 1a-2,
que existe porque aneq2.

Resposta

1a-2

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