Calcule os seguintes limites, quando existirem. Caso não existam, explique o porquê.
lim x +infty |2 x^3+m x^2-4|-2 x^3+7 x^2+m x, onde m é um número real fixado.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limx to +infty l|2x^3+m x^2-4r|-2x^3+7x^2+m x,
onde m é um número real fixado. O assunto é o comportamento assintótico de razão de polinômios com valor absoluto no numerador. Vamos usar que, para x grande, o termo de maior grau domina e determinar o sinal interno ao valor absoluto para remover a barra.

Passo 2

Para xto+infty, o termo dominante dentro do valor absoluto é 2x^3. Em particular, existe X>0 tal que, para x>X,
2x^3 + m x^2 - 4 > x^3l(2 + tfracmx - tfrac4x^3r) > 0
Logo, para x suficientemente grande,
l|2x^3 + m x^2 - 4r| = 2x^3 + m x^2 - 4

Passo 3

Com isso, para xto+infty temos
l|2x^3 + m x^2 - 4r|-2x^3 +7x^2 + m x = 2x^3 + m x^2 - 4-2x^3 +7x^2 + m x

Passo 4

Dividindo numerador e denominador por x^3, obtemos
2 + tfracmx - tfrac4x^3-2 + tfrac7x + tfracmx^2 ;xrightarrow[xto+infty]; 2-2 = -1

Resposta

-1

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