5.4N Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
tg^2(x+y) d x-d y=0 ; z=x+y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
tan^2(x+y),dx - dy = 0
e indica a substituição z = x + y.
Vamos usar essa mudança de variável para reduzir a ordem e integrar.

Passo 2

Da equação original isolamos dy:
dy = tan^2(x+y),dx Longrightarrow dy = tan^2(z),dx

Passo 3

Como z = x + y, temos
dz = dx + dy
Substituindo dy = dz - dx em dy = tan^2(z),dx, obtemos
dz - dx = tan^2(z),dx Longrightarrow dz = l(tan^2(z)+1r),dx = sec^2(z),dx

Passo 4

Separamos variáveis:
dx = cos^2(z),dz
Para integrar, usamos a identidade cos^2(z)=tfrac1+cos(2z)2:
integral dx = integral cos^2(z),dz = integral 1+cos(2z)2,dz = z2 + sin(2z)4 + C
Como integral dx = x, vem
x = z2 + sin(2z)4 + C

Passo 5

Voltando a z=x+y, temos
x = x+y2 + sinl(2(x+y)r)4 + C
Multiplicando por 2 e rearranjando,
2x = x+y + tfrac12sinl(2(x+y)r) + 2C Longrightarrow x - y - 12,sinl(2(x+y)r) = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

x - y - tfrac12,sinl(2(x+y)r) = C

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