1. Considere a função f(x)=k x^2+(m+1) x+2x^2+2 x-3, onde k, m in R. Determine:
    (a) o valor de k para o qual y=2 seja a única assíntota horizontal ao gráfico de f.
    (b) Usando o valor de k obtido no item acima, determine o valor de m de modo que x=1 não seja assíntota vertical ao gráfico de f e x=-3 seja a única assíntota vertical ao gráfico de f.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=k x^2+(m+1)x+2x^2+2x-3
e pede (a) o valor de k para que y=2 seja a única assíntota horizontal e (b) com esse k, escolher m de modo que x=1 não seja assíntota vertical e x=-3 seja a única assíntota vertical. Vamos usar conceitos de assíntota horizontal (graus do numerador e denominador) e assíntota vertical (zeros do denominador não cancelados).

Passo 2

Para assíntota horizontal, comparamos os graus do numerador e do denominador. Ambos têm grau 2, logo a assíntota é
y=coeficiente líder do numeradorcoeficiente líder do denominador =k1=k íí
Queremos y=2, portanto basta impor
k=2

Passo 3

Agora com k=2 a função fica
f(x)=2x^2+(m+1)x+2x^2+2x-3 =2x^2+(m+1)x+2(x-1)(x+3)
Para que x=1 não seja assíntota vertical, devemos ter cancelamento de (x-1) no numerador, ou seja o numerador deve anular em x=1:
2cdot1^2+(m+1)cdot1+2=2+(m+1)+2=m+5=0 ;Longrightarrow;m=-5
Com m=-5 o numerador fatora como
2x^2+(-4)x+2=2(x^2-2x+1)=2(x-1)^2,
ficando
f(x)=2(x-1)^2(x-1)(x+3)=2(x-1)x+3,
que tem apenas o pólo x=-3, garantindo ser essa a única assíntota vertical.

Resposta

(a) k=2
(b) m=-5

Exercícios relacionados