Encontre a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função f(x, y) dada, no ponto P dado.
f(x, y)=x y^2+x^2 y, P=(1,1, f(1,1))

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
z=f(x,y)=x y^2+x^2y
no ponto
P=(1,1,f(1,1))
Para isso precisamos calcular f(1,1) e as derivadas parciais partial f/partial x e partial f/partial y em (1,1).

Passo 2

Calculamos o valor de f em (1,1):
f(1,1)=1cdot1^2+1^2cdot1=1+1=2
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P=(1,1,2)

Passo 3

Agora achamos as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y)=y^2+2xy,
partial fpartial y(x,y)=2xy+x^2
Em (1,1) temos
partial fpartial x(1,1)=1^2+2cdot1cdot1=3,
partial fpartial y(1,1)=2cdot1cdot1+1^2=3

Passo 4

A equação do plano tangente é dada por
z-z0 =partial fpartial x(x0,y0),(x-x0) +partial fpartial y(x0,y0),(y-y0),
substituindo (x0,y0,z0)=(1,1,2) e as derivadas:
z-2=3,(x-1)+3,(y-1)

Passo 5

O vetor normal ao gráfico de z=f(x,y) em P pode ser tomado como
N=(-fx(1,1),-fy(1,1),1)=(-3,-3,1)
Assim a reta normal, em forma paramétrica, é
x=1-3t, y=1-3t, z=2+t,
ou, invertendo o sinal do parâmetro, equivalentemente
x=1+3s, y=1+3s, z=2-s

Resposta

Plano tangente:
z-2=3(x-1)+3(y-1)
Reta normal (parâmetro t):
x=1-3t, y=1-3t, z=2+t

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