Exercício 16. (Apostol seção 1.17 exercício 4) Considere o conjunto de todos os polinômios com o produto interno
. Prove que as funções
Passo 1
O enunciado pede para provar que as funções
são ortonormais no espaço de polinômios sobre
com o produto interno
Iremos então verificar (1) que
para
(ortogonalidade) e (2) que
para
(normalização).
Passo 2
Verificação da ortogonalidade:
Expandindo
e integrando:
logo
.
Passo 3
Verificação da normalização:
Expandindo
segue
logo
.
Resposta
As funções
são ortonormais, pois satisfazem
para
e
.