Exercício 16. (Apostol seção 1.17 exercício 4) Considere o conjunto de todos os polinômios com o produto interno lang<= u, vrang<=:=integral0^1 u(t) v(t) d t. Prove que as funções
y1(t)=1, y2(t)=raiz3(2 t-1), y3(t)=raiz5(6 t^2-6 t+1)

Passo 1

O enunciado pede para provar que as funções
y1(t)=1, y2(t)=raiz3,(2t-1), y3(t)=raiz5,(6t^2-6t+1)
são ortonormais no espaço de polinômios sobre [0,1] com o produto interno
lang<= u,vrang<==integral0^1u(t)v(t),dt
Iremos então verificar (1) que lang<= yi,yjrang<==0 para ineq j (ortogonalidade) e (2) que lang<= yi,yirang<==1 para i=1,2,3 (normalização).

Passo 2

Verificação da ortogonalidade:
lang<= y1,y2rang<= =integral0^11cdotl[raiz3(2t-1)r],dt =raiz3integral0^1(2t-1),dt =raiz3l[t^2-tr]0^1 =raiz3(1-1)=0
lang<= y1,y3rang<= =integral0^11cdotl[raiz5(6t^2-6t+1)r],dt =raiz5integral0^1(6t^2-6t+1),dt =raiz5l[2t^3-3t^2+tr]0^1 =raiz5(2-3+1)=0
lang<= y2,y3rang<= =integral0^1l[raiz3(2t-1)r]l[raiz5(6t^2-6t+1)r],dt =raiz15integral0^1(2t-1)(6t^2-6t+1),dt
Expandindo (2t-1)(6t^2-6t+1)=12t^3-18t^2+8t-1 e integrando:
integral0^1(12t^3-18t^2+8t-1),dt =l[3t^4-6t^3+4t^2-tr]0^1 =3-6+4-1=0,
logo lang<= y2,y3rang<==0.

Passo 3

Verificação da normalização:
lang<= y1,y1rang<= =integral0^11cdot1,dt =l[tr]0^1=1
lang<= y2,y2rang<= =3integral0^1(2t-1)^2,dt =3integral0^1(4t^2-4t+1),dt =3l[tfrac43t^3-2t^2+tr]0^1 =3l(tfrac43-2+1r)=1
lang<= y3,y3rang<= =5integral0^1(6t^2-6t+1)^2,dt
Expandindo (6t^2-6t+1)^2=36t^4-72t^3+48t^2-12t+1 segue
integral0^1(36t^4-72t^3+48t^2-12t+1),dt =l[tfrac365t^5-18t^4+16t^3-6t^2+tr]0^1 =tfrac365-18+16-6+1=tfrac15,
logo lang<= y3,y3rang<==5cdottfrac15=1.

Resposta

As funções y1,y2,y3 são ortonormais, pois satisfazem
lang<= yi,yjrang<==0 para ineq j e lang<= yi,yirang<==1.

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