5.4N Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^prime sen y=cos x(2 cos y-sen^2 x) ; z=cos y.

Passo 1

O enunciado dá a equação
;y',sen y = cos xl(2cos y - sen^2 xr)
e indica a substituição z=cos y. O conteúdo aqui é a resolução de uma equação diferencial de primeira ordem, que se transformará numa equação linear em z.

Passo 2

Calculamos
z = cos y Longrightarrow z' = ddx(cos y) = -,y',sin y
Logo
y',sin y = -,z'
Substituindo na equa\c{c}~ao original, obtemos
-,z' = cos xl(2z - sin^2 xr)

Passo 3

Reescrevendo, fica
z' + 2cos x,z = sen^2 xcos x
Isto é uma equação linear de primeira ordem na forma
z' + P(x),z = Q(x),
com P(x)=2cos x e Q(x)=sen^2 xcos x.

Passo 4

O fator integrante é
mu(x) = expl(integral 2cos x,dxr) = expl(2sen xr) = e^2sen x
Multiplicando a equação por mu(x) resulta
l(z,e^2sen xr)' = sen^2 xcos x,e^2sen x

Passo 5

Integramos o lado direito:
integral sen^2 xcos x,e^2sen x,dx
Fazendo u=sen x, du=cos x,dx, reduzimos a
integral u^2 e^2u,du
Usamos integração por partes duas vezes para achar
integral u^2 e^2u,du = tfrac12,u^2 e^2u - tfrac12,u e^2u + tfrac14,e^2u + C

Passo 6

Voltando a u=sen x, obtemos
z,e^2sen x = e^2sen xl(tfrac12sen^2 x - tfrac12sen x + tfrac14r) + C
Dividindo por e^2sen x, fica
z = tfrac12sen^2 x - tfrac12sen x + tfrac14 + C,e^-2sen x

Passo 7

Relembrando que z=cos y, a solução geral em y é
cos y = tfrac12sen^2 x - tfrac12sen x + tfrac24 + C,e^-2sen x

Resposta

cos y = 12sen^2 x ;-;12sen x;+;14 ;+;C,e^-2sen x

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