Calcule as seguintes integrais
(1.3 pt) integral 2 x+3(x+2)(x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x+3(x+2)(x+1),dx
O conteúdo aqui é integração de funções racionais pelo método de frações parciais, já que o grau do numerador é menor que o do denominador.

Passo 2

Vamos decompor a função em frações parciais. Assumimos que
2x+3(x+2)(x+1) = Ax+2 + Bx+1
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
2x+3 = A(x+1) + B(x+2)

Passo 3

Expandindo e igualando coeficientes em
Logo o sistema é
Da segunda equação (A=3-2B]. Substituindo na primeira:

Passo 4

Com A=1 e B=1, reescrevemos a integral como
integral l(1x+2 + 1x+1r),dx = integral 1x+2,dx + integral 1x+1,dx = lnl|x+2r| + lnl|x+1r| + C

Resposta

integral 2x+3(x+2)(x+1),dx = lnl|x+2r| + lnl|x+1r| + C

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