Calcule lim x 0 x cotg(3 x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0 x,cotg(3x)
O conteúdo envolvido é limite de função trigonométrica e, em particular, vamos usar a definição
cotgu=dfraccos usin u
e o limite fundamental
limuto0sin uu=1

Passo 2

Reescrevendo a cotangente em termos de seno e cosseno, temos
x,cotg(3x) = x;cos(3x)sin(3x)

Passo 3

Separemos em dois fatores para aplicar limites conhecidos:
x,cos(3x)sin(3x) = cos(3x);xsin(3x)
Para tratar dfracxsin(3x), faça a substituição u=3x. Então x=tfracu3 e, quando xto0, uto0. Assim,
xsin(3x) =tfracu3sin(u) =13;usin(u)

Passo 4

Aplicando os limites:
  • Como limuto0usin(u)=1, segue que limxto0xsin(3x)=tfrac13.
  • Como cos(3x) é contínua e cos(0)=1, temos limxto0cos(3x)=1.
    Portanto, juntando tudo:
limxto0x,cotg(3x) =limxto0cos(3x);cdotlimxto0xsin(3x) =1cdot13 =13

Resposta

13

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