Exercício 2. Seja U subseteq R^n um conjunto convexo. Mostre que f: R^n longrightarrow R dada por
f(x)=dist(x, U)
é uma função convexa.

Passo 1

O enunciado pergunta para mostrarmos que a função
f(x)=dist(x,U)=infyin U|x-y|
é convexa, dado que UsubseteqR^n é convexo. O conteúdo envolvido é a definição de função convexa e propriedades da norma em espaços vetoriais.

Passo 2

Lembramos que f é convexa se, para quaisquer x,zinR^n e todo tin[0,1], tivermos
fl(tx+(1-t)zr)<= t,f(x)+(1-t),f(z)

Passo 3

Fixemos x,zinR^n e tin[0,1]. Seja varepsilon>0. Pela definição de inf-suprema, existem pontos yin U e y'in U tais que
|x-y|<= f(x)+varepsilon, |z-y'|<= f(z)+varepsilon

Passo 4

Como U é convexo, também está em U o ponto
w=t,y+(1-t),y'
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fl(tx+(1-t)zr) <= |,tx+(1-t)z - w| = l|t(x-y)+(1-t)(z-y')r|

Passo 5

Pela desigualdade triangular e homogeneidade da norma,
l|t(x-y)+(1-t)(z-y')r| <= t,|x-y| ;+; (1-t),|z-y'| <= t,(f(x)+varepsilon)+(1-t),(f(z)+varepsilon)

Passo 6

Portanto
fl(tx+(1-t)zr)<= t,f(x)+(1-t),f(z)+(t+(1-t)),varepsilon = t,f(x)+(1-t),f(z)+varepsilon
Como isso vale para todo varepsilon>0, segue
fl(tx+(1-t)zr)<= t,f(x)+(1-t),f(z),
ou seja, f é convexa.

Resposta

A função f(x)=dist(x,U) é convexa.

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