Exercício 2. Seja
um conjunto convexo. Mostre que
dada por
é uma função convexa.
Passo 1
O enunciado pergunta para mostrarmos que a função
é convexa, dado que
é convexo. O conteúdo envolvido é a definição de função convexa e propriedades da norma em espaços vetoriais.
Passo 2
Lembramos que
é convexa se, para quaisquer
e todo
, tivermos
Passo 3
Fixemos
e
. Seja
. Pela definição de inf-suprema, existem pontos
e
tais que
Passo 4
Como
é convexo, também está em
o ponto
Logo
Passo 5
Pela desigualdade triangular e homogeneidade da norma,
Passo 6
Portanto
Como isso vale para todo
varepsilon>0 , segue
ou seja,
f é convexa.
Resposta
A função
f(x)=dist(x,U) é convexa.