Calcule a derivada ( f^prime(x) ) das funções abaixo:
f(x)=3^x tan (x^2),

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=3^xtanl(x^2r)
Aqui vamos usar três ingredientes principais:
  1. A regra do produto: se f(x)=u(x)v(x), então
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
  1. A derivada de uma exponencial de base a:
ddxl(a^xr)=a^xln(a)
  1. A regra da cadeia para tan:
ddxl(tan(g(x))r)=sec^2l(g(x)r),g'(x)

Passo 2

Identificamos
u(x)=3^x,
logo, pela regra da exponencial,
u'(x)=3^xlnl(3r)

Passo 3

Agora seja
v(x)=tanl(x^2r)
Pela regra da cadeia com g(x)=x^2, temos
g'(x)=2x
e
v'(x)=sec^2l(x^2r)cdot 2x

Passo 4

Aplicando a regra do produto,
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x),
substituindo u, u', v e v':
f'(x) =3^xln(3),tanl(x^2r) +3^xl(sec^2(x^2)cdot 2xr)
Fatorando 3^x:
f'(x) =3^xl[ln(3),tanl(x^2r)+2x,sec^2l(x^2r)r]

Resposta

f'(x)=3^xl[ln(3),tanl(x^2r)+2x,sec^2l(x^2r)r]

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