7.Uma estação de televisão afirma que
dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última segunda-feira.Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste.
a)Formule o problema como um teste de hipótese para verificar a afirmação da estação de televisão.
b)Qual a região crítica do teste para um nível de significância
?
c)Admita que,com a pesquisa feita com as 200 pessoas,obtivemos 104 pessoas que estavam assistindo ao programa.O que podemos dizer a respeito da afirmação da estação de televisão?
a)Formule o problema como um teste de hipótese para verificar a afirmação da estação de televisão.
b)Qual a região crítica do teste para um nível de significância
c)Admita que,com a pesquisa feita com as 200 pessoas,obtivemos 104 pessoas que estavam assistindo ao programa.O que podemos dizer a respeito da afirmação da estação de televisão?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas:
- A estação afirma que
dos televisores estavam ligados no seu programa especial na última segunda-feira. - A rede competidora toma uma amostra de
famílias para testar essa afirmação. - (b) pede a região crítica para nível de significância
. - (c) na amostra de
observou-se pessoas assistindo ao programa; pede-se a conclusão sobre a afirmação da estação.
Passo 2
Definimos a quantidade que queremos testar:
- Seja
a proporção verdadeira de todos os televisores (ou famílias) que estavam assistindo ao programa na última segunda-feira.
A formulação do teste (hipóteses) deve refletir o fato de que a rede competidora quer “contestar” a afirmação de. Contestação normalmente significa verificar se a proporção é diferente de (pode ser menor ou maior). Então as hipóteses são:
Explicação curta:
(hipótese nula) é a afirmação da estação que vamos testar;
(hipótese alternativa) é o que a competidora quer provar ao contestar (que a proporção não é
).
Passo 3
Agora vamos escolher a estatística de teste e ver se podemos usar a aproximação normal. Para testes de proporção com amostra grande usamos a estatística baseada na proporção amostral
Sob
, para
grande,
tem aproximadamente distribuição normal com média
e variância
. A estatística padronizada é
onde
é o valor sob
(aqui
). Explicando cada símbolo:
-
= proporção observada na amostra; -
= proporção sob hipótese nula; -
= tamanho da amostra; - a raiz quadrada no denominador é o erro padrão de
sob .
Verificação das condições para usar a aproximação normal: precisamos de
e
grandes (regra prática: pelo menos
ou
). Aqui
ambos bem maiores que
. Logo a aproximação normal é válida.
Passo 4
Determinar a região crítica para
no teste bilateral.
- Em um teste bilateral com nível
rejeitamos quando . - Para
temos .
Portanto a região crítica em termos de
é
Também podemos escrever a região crítica em termos de
. O intervalo de não-rejeição (confiança de
) é
Calculemos o erro padrão sob
:
A margem é
Logo o intervalo de não-rejeição para
é aproximadamente
Em termos de
, a região crítica é
Passo 5
Agora usemos os dados observados:
- Observamos
pessoas assistindo em , então
Compare com o intervalo de não-rejeição:
. Isso já indica rejeição de
.
Calculemos a estatística
explicitamente:
Como
, rejeitamos
.
Podemos também calcular o p‑valor (teste bilateral):
- A cauda unilateral para
é (valores a partir da tabela normal). - O p‑valor bilateral é aproximadamente
.
Como, a decisão é a mesma: rejeitar .
Passo 6
Interpretação final numa linguagem simples e amigável:
- A amostra de
com produz evidência estatística suficiente, ao nível de significância de , para rejeitar a afirmação da estação de que . - Como a proporção observada é menor que
e a diferença é estatisticamente significativa, isso sugere que a proporção verdadeira de televisores ligado no programa era, na verdade, menor que . - Em termos práticos: com esses dados a rede competidora tem base para contestar a afirmação da estação. Lembre-se: rejeitar
com significa aceitar que a evidência é forte o suficiente para afirmar que a hipótese da estação parece errada, com risco de erro do tipo I de .
Resposta
a)
\n
\n\nb) Região crítica:
, equivalente a
ou
\n\nc)
. Estatística
, p‑valor
. Como
, rejeitamos
; há evidência de que a proporção real é menor que
.