7.Uma estação de televisão afirma que 60 \% dos televisores estavam ligados no seu programa especial da última segunda-feira.Uma rede competidora deseja contestar essa afirmação e decide usar uma amostra de 200 famílias para um teste.
a)Formule o problema como um teste de hipótese para verificar a afirmação da estação de televisão.
b)Qual a região crítica do teste para um nível de significância \alpha=5 \%
c)Admita que,com a pesquisa feita com as 200 pessoas,obtivemos 104 pessoas que estavam assistindo ao programa.O que podemos dizer a respeito da afirmação da estação de televisão?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas:
  • A estação afirma que 60\% dos televisores estavam ligados no seu programa especial na última segunda-feira.
  • A rede competidora toma uma amostra de n=200 famílias para testar essa afirmação.
  • (b) pede a região crítica para nível de significância \alpha=5\%.
  • (c) na amostra de n=200 observou-se 104 pessoas assistindo ao programa; pede-se a conclusão sobre a afirmação da estação.

Passo 2

Definimos a quantidade que queremos testar:
  • Seja p a proporção verdadeira de todos os televisores (ou famílias) que estavam assistindo ao programa na última segunda-feira.
    A formulação do teste (hipóteses) deve refletir o fato de que a rede competidora quer “contestar” a afirmação de 60\%. Contestação normalmente significa verificar se a proporção é diferente de 60\% (pode ser menor ou maior). Então as hipóteses são:
H_0: p = 0,6
H_a: p \neq 0,6
Explicação curta: H_0 (hipótese nula) é a afirmação da estação que vamos testar; H_a (hipótese alternativa) é o que a competidora quer provar ao contestar (que a proporção não é 60\%).

Passo 3

Agora vamos escolher a estatística de teste e ver se podemos usar a aproximação normal. Para testes de proporção com amostra grande usamos a estatística baseada na proporção amostral
\hat{p}=\frac{\text{nº de sucessos observados}}{n}.º
Sob H_0, para n grande, \hat{p} tem aproximadamente distribuição normal com média p e variância p(1-p)/n. A estatística padronizada é
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}},
onde p_0 é o valor sob H_0 (aqui p_0=0,6). Explicando cada símbolo:
  • \hat{p} = proporção observada na amostra;
  • p_0 = proporção sob hipótese nula;
  • n = tamanho da amostra;
  • a raiz quadrada no denominador é o erro padrão de \hat{p} sob H_0.
Verificação das condições para usar a aproximação normal: precisamos de n p_0 e n(1-p_0) grandes (regra prática: pelo menos 5 ou 10). Aqui
n p_0 = 200\cdot 0,6 = 120,
n(1-p_0) = 200\cdot 0,4 = 80,
ambos bem maiores que 5. Logo a aproximação normal é válida.

Passo 4

Determinar a região crítica para \alpha=5\% no teste bilateral.
  • Em um teste bilateral com nível \alpha rejeitamos H_0 quando |Z|>z_{1-\alpha/2}.
  • Para \alpha=0,05 temos z_{1-\alpha/2}=z_{0,975}\approx 1,96.
Portanto a região crítica em termos de Z é
\text{rejeitar }H_0 \quad \text{se}\quad |Z|>1,96.
Também podemos escrever a região crítica em termos de \hat{p}. O intervalo de não-rejeição (confiança de 100(1-\alpha)\%) é
p_0 \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}.
Calculemos o erro padrão sob H_0:
p_0(1-p_0)=0,6\cdot 0,4=0,24,
\frac{p_0(1-p_0)}{n}=\frac{0,24}{200}=0,0012,
\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{0,0012}\approx 0,034641.
A margem é
1,96\cdot 0,034641\approx 0,06787.
Logo o intervalo de não-rejeição para \hat{p} é aproximadamente
0,6 \pm 0,06787 \Rightarrow [0,53213,\;0,66787].
Em termos de \hat{p}, a região crítica é
\hat{p}<0,53213\quad\text{ou}\quad \hat{p}>0,66787.

Passo 5

Agora usemos os dados observados:
  • Observamos 104 pessoas assistindo em n=200, então
\hat{p}=\frac{104}{200}=0,52.
Compare com o intervalo de não-rejeição: 0,52 < 0,53213. Isso já indica rejeição de H_0.
Calculemos a estatística Z explicitamente:
Z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}=\frac{0,52-0,6}{0,034641}=\frac{-0,08}{0,034641}\approx -2,309.
Como |Z|\approx 2,309>1,96, rejeitamos H_0.
Podemos também calcular o p‑valor (teste bilateral):
  • A cauda unilateral para |Z|=2,309 é P(Z<-2,309)\approx 0,0105 (valores a partir da tabela normal).
  • O p‑valor bilateral é aproximadamente 2\cdot 0,0105 \approx 0,021.
    Como p\text{-valor}\approx 0,021<0,05, a decisão é a mesma: rejeitar H_0.

Passo 6

Interpretação final numa linguagem simples e amigável:
  • A amostra de n=200 com \hat{p}=0,52 produz evidência estatística suficiente, ao nível de significância de 5\%, para rejeitar a afirmação da estação de que p=0,6.
  • Como a proporção observada é menor que 0,6 e a diferença é estatisticamente significativa, isso sugere que a proporção verdadeira de televisores ligado no programa era, na verdade, menor que 60\%.
  • Em termos práticos: com esses dados a rede competidora tem base para contestar a afirmação da estação. Lembre-se: rejeitar H_0 com \alpha=5\% significa aceitar que a evidência é forte o suficiente para afirmar que a hipótese da estação parece errada, com risco de erro do tipo I de 5\%.

Resposta

a) \;H_0: p=0,6\n \;H_a: p\neq 0,6\n\nb) Região crítica: |Z|>1,96, equivalente a \hat{p}<0,53213 ou \hat{p}>0,66787\n\nc) \hat{p}=104/200=0,52. Estatística Z\approx -2,309, p‑valor \approx 0,021. Como p\text{-valor}<0,05, rejeitamos H_0; há evidência de que a proporção real é menor que 60\%.

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