1.4O Considere a seqüência
definida pela recorrência:
e
, para
. Mostre que
é monótona limitada e, portanto, convergente e que
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
e pede para mostrar que
é monótona e limitada (logo convergente) e que
Vamos usar indução para provar monotonicidade e limite superior, depois aplicar o teorema do monotone convergence e determinar o ponto fixo da recursão.
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente. Para todo
,
Como
sempre que
e veremos a seguir que
, segue que
isto é, a sequência é crescente.
Passo 3
Prova do limite superior
por indução. Para
temos
. Suponha
. Então
Para mostrar
, basta ver que
Defina
. Observa-se que
então
é decrescente e, como
, segue
. Logo
nesse intervalo e portanto
Isso completa a indução, garantindo
para todo
.
Passo 4
Como
é crescente e está limitada superiormente por
, ela converge para algum
. Tomando limite na relação de recorrência,
Logo
. Dentro do intervalo
a única solução é
.