1.4O Considere a seqüência (an) definida pela recorrência: a1=1 e an=an-1+cos an-1, para n >= 2. Mostre que (an) é monótona limitada e, portanto, convergente e que lim an=pi / 2.

Passo 1

O enunciado define a sequência (an) por
a1=1, an=an-1+cosl(an-1r)(n>=2),
e pede para mostrar que (an) é monótona e limitada (logo convergente) e que
limntoinftyan=pi2
Vamos usar indução para provar monotonicidade e limite superior, depois aplicar o teorema do monotone convergence e determinar o ponto fixo da recursão.

Passo 2

Mostramos que (an) é estritamente crescente. Para todo n>=2,
an-an-1 =cosl(an-1r)
Como cos(x)>=0 sempre que xin[0,tfracpi2] e veremos a seguir que an-1in[0,tfracpi2), segue que
an-an-1>=0 Longrightarrow an>= an-1,
isto é, a sequência é crescente.

Passo 3

Prova do limite superior an<tfracpi2 por indução. Para n=1 temos a1=1<tfracpi2. Suponha ak-1<tfracpi2. Então
ak =ak-1+cosl(ak-1r)
Para mostrar ak<tfracpi2, basta ver que
cosl(ak-1r)<= pi2-ak-1
Defina f(x)=pi2-x-cos x. Observa-se que
f'(x)=-1+sin x<=0 para xin[0,tfracpi2],
então f é decrescente e, como f(tfracpi2)=0, segue f(x)>=0. Logo cos x<=tfracpi2-x nesse intervalo e portanto
ak=ak-1+cos(ak-1) <= ak-1+pi2-ak-1 =pi2
Isso completa a indução, garantindo an<tfracpi2 para todo n.

Passo 4

Como (an) é crescente e está limitada superiormente por tfracpi2, ela converge para algum L<=tfracpi2. Tomando limite na relação de recorrência,
L=limntoinftyan =limntoinftyl(an-1+cos(an-1)r) =L+cos(L)
Logo cos(L)=0. Dentro do intervalo [0,tfracpi2] a única solução é L=tfracpi2.

Resposta

limntoinftyan=pi2

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