Calcule a derivada ( f^prime(x) ) das funções abaixo:
f(x)=(x^2+5 x)^x^3,

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = l(x^2 + 5xr)^x^3
O conteúdo aqui é diferenciação de função na forma g(x)^h(x). Vamos usar diferenciação logarítmica, que é ideal quando a base e o expoente dependem de x.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar a potência:
ln f(x) = lnl((x^2+5x)^x^3r)
Pela propriedade de logaritmo de potência, obtemos
ln f(x) = x^3 ,ln(x^2+5x)

Passo 3

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado direito usamos regra do produto em
u(x) = x^3 e v(x) = ln(x^2+5x)
Então
ddxl(ln f(x)r) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x) = 3x^2ln(x^2+5x) + x^3cdotddxl[ln(x^2+5x)r]
E
ddxl[ln(x^2+5x)r] = 2x+5x^2+5x

Passo 4

Como ddxl(ln f(x)r)=f'(x)f(x), temos
f'(x)f(x) = 3x^2ln(x^2+5x) + x^32x+5x^2+5x
Multiplicando ambos os lados por f(x) para isolar f'(x), vem
f'(x) = f(x),l[3x^2ln(x^2+5x) + x^32x+5x^2+5xr]

Passo 5

Substituímos f(x)=(x^2+5x)^x^3 para obter a forma final:
f'(x) = (x^2+5x)^x^3l[3x^2ln(x^2+5x) + x^32x+5x^2+5xr]

Resposta

f'(x) = (x^2+5x)^x^3l[3x^2ln(x^2+5x) + x^32x+5x^2+5xr]

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