3.4O Desenvolva as funções e em séries de potências de , determine os respectivos intervalos de convergência e em seguida obtenha séries para representar e .
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver em séries de potências as funções
e
determinar seus intervalos de convergência e então obter séries que representem e . O conteúdo aqui é a expansão em série geométrica, depois termwise diferenciação e integração.
Passo 2
Para usamos a fórmula da série geométrica
válida se . Basta tomar . Então
e a condição de convergência é
Passo 3
Para fatoramos no denominador:
De novo aplicamos com . Assim
com requisito de convergência
Passo 4
Para f'(x) diferenciamos termo a termo a série de f(x). Se