3.4O Desenvolva as funções f(x)=11-3 x e g(x)=13-2 x em séries de potências de x, determine os respectivos intervalos de convergência e em seguida obtenha séries para representar f^prime(x) e integral0^x g(t) d t.

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver em séries de potências as funções
f(x)=11-3x
e
g(x)=13-2x,
determinar seus intervalos de convergência e então obter séries que representem f'(x) e integral0^xg(t),dt. O conteúdo aqui é a expansão em série geométrica, depois termwise diferenciação e integração.

Passo 2

Para f(x)=tfrac11-3x usamos a fórmula da série geométrica
11-u=sumn=0^inftyu^n,
válida se |u|<1. Basta tomar u=3x. Então
f(x)=sumn=0^infty(3x)^n=sumn=0^infty3^n x^n,
e a condição de convergência é
|3x|<1Longrightarrow|x|<tfrac13

Passo 3

Para g(x)=tfrac13-2x fatoramos 3 no denominador:
g(x)=13,11-tfrac23x
De novo aplicamos tfrac11-u=sum u^n com u=tfrac23x. Assim
g(x)=13sumn=0^inftyl(tfrac23xr)^n =sumn=0^infty2^n3^n+1,x^n,
com requisito de convergência
l|tfrac23xr|<1Longrightarrow|x|<tfrac32

Passo 4

Para f'(x) diferenciamos termo a termo a série de f(x). Se
f(x)=sumn=0^infty3^n x^n,
então
f'(x)=sumn=1^inftyn,3^n x^n-1
Reindexando com m=n-1
f'(x)=summ=0^infty(m+1),3^,m+1x^m,
válido no mesmo intervalo |x|<tfrac13.

Passo 5

Para integral0^xg(t),dt integramos termo a termo
g(t)=sumn=0^infty2^n3^n+1,t^n
Isso produz
integral0^xg(t),dt =sumn=0^infty2^n3^n+1integral0^xt^n,dt =sumn=0^infty2^n3^n+1;x^n+1n+1
Essa série converge quando |x|<tfrac32, mesmo raio de g.

Resposta

f(x)=sumn=0^infty3^n x^n, |x|<tfrac13
g(x)=sumn=0^infty2^n3^n+1,x^n, |x|<tfrac32
f'(x)=sumn=1^inftyn,3^n x^n-1=summ=0^infty(m+1),3^m+1x^m, |x|<tfrac13
integral0^xg(t),dt=sumn=0^infty2^n3^n+1;x^n+1n+1, |x|<tfrac32

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