1. Considere a função F(x)=f(x^2 cos (pi x)). Sabendo que f^prime(-1)=pi, f^prime(0)=6 e f^prime(1)=3 pi, determine F^prime(-1).
Pela regra da cadeia, temos que
F^prime(x)=f^prime(x^2 cos (pi x)) cdot[2 x cos (pi x)-pi x^2 sen(pi x)]
logo
F^prime(-1)=f^prime(1 cdot(-1)) cdot[2 cdot(-1) cdot(-1)-pi cdot 1 cdot 0]=2 cdot f^prime(-1)=2 pi

Passo 1

O enunciado dá F(x)=fl(x^2cos(pi x)r) e informações dos valores de f' em pontos específicos:
f'(-1)=pi, f'(0)=6, f'(1)=3pi
O objetivo é calcular F'(-1) usando a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de F é
F'(x)=f'l(x^2cos(pi x)r);cdot;l[,2xcos(pi x)-pi x^2sin(pi x)r]

Passo 3

Avaliaremos primeiro o argumento da derivada de f em x=-1:
u(x)=x^2cos(pi x) Longrightarrow u(-1)=(-1)^2cosl(picdot(-1)r)=1cdotcos(-pi)=-1
Logo,
f'l(u(-1)r)=f'(-1)=pi

Passo 4

Agora calculamos o fator restante em x=-1:
2xcos(pi x)-pi x^2sin(pi x) |x=-1 =2(-1)cos(-pi)-picdot1cdotsin(-pi) = -2cdot(-1)-0 =2
Portanto,
F'(-1)=pi;times;2=2pi

Resposta

2pi

Exercícios relacionados