Exercício 9 (K.11.1 Ex.6)
Seja f: R C uma função periódica de período T>0. Mostre que x mapsto f(a x) e x mapsto f(xb) são funções periódicas de período Ta e b T.

Passo 1

O enunciado diz que fcolon RtoC é periódica de período T>0, ou seja,
f(x+T)=f(x)para todo xinR
Queremos mostrar que as funções
g(x)=f(a x) e h(x)=fl(x/br)
são periódicas, com períodos tfracTa e bT, respectivamente.

Passo 2

Definimos g(x)=f(a x). Para verificar que tfracTa é período de g, calculamos:
gl(x+tfracTar) = fl(al(x+tfracTar)r) = fl(a x+Tr) = f(a x) = g(x)
Como g(x+tfracTa)=g(x) para todo x, segue que g é periódica de período tfracTa.

Passo 3

Definimos h(x)=fl(x/br). Para ver que bT é período de h, fazemos:
hl(x+bTr) = fl(tfracx+bTbr) = fl(x/b+Tr) = f(x/b) = h(x)
Portanto h(x+bT)=h(x) para todo x, e h é periódica de período bT.

Resposta

A função xmapsto f(a x) é periódica de período tfracTa e a função xmapsto fl(x/br) é periódica de período bT.

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