\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sec} ^{4} \theta \operatorname{tg}^{4} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \operatorname{sec}^{4}\theta\,\tan^{4}\theta\,d\theta.
Informações dadas:
  • Limites de integração: \theta=0 até \theta=\pi/4.
  • Integrando: \operatorname{sec}^{4}\theta\,\tan^{4}\theta.
  • Queremos o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Vamos transformar a integral para uma forma mais simples usando a substituição \,u=\tan\theta\,. Antes de aplicar, reviso duas coisas importantes (devagar, passo a passo):
  • A derivada da função \tan\theta em relação a \theta é \operatorname{sec}^{2}\theta. Em notação de diferenciais isso dá
du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Isto significa que sempre que eu vir um fator \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta posso trocá-lo por du.
  • A identidade trigonométrica fundamental que relaciona \operatorname{sec} e \tan é
\operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta.
Vou usar essas duas observações para converter toda a integral em termos de u.

Passo 3

Reescrevo o integrando usando \tan\theta=u e \operatorname{sec}^{2}\theta=1+u^{2}. Note que \operatorname{sec}^{4}\theta=(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{2}=(1+u^{2})^{2}. Substituindo:
\operatorname{sec}^{4}\theta\,\tan^{4}\theta\,d\theta = (1+u^{2})^{2}\,u^{4}\,d\theta.
Também temos d\theta=\dfrac{du}{\operatorname{sec}^{2}\theta}=\dfrac{du}{1+u^{2}}. Substituindo d\theta na expressão anterior:
(1+u^{2})^{2}\,u^{4}\,d\theta = (1+u^{2})^{2}\,u^{4}\cdot\frac{du}{1+u^{2}} = u^{4}(1+u^{2})\,du.
Portanto a integral vira uma integral polinomial em u.

Passo 4

Agora substituo os limites. Quando \theta=0 temos u=\tan 0=0. Quando \theta=\pi/4 temos u=\tan(\pi/4)=1. Logo a integral definida fica
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{4}\theta\,\tan^{4}\theta\,d\theta = \int_{0}^{1} u^{4}(1+u^{2})\,du.
Expando o integrando:
u^{4}(1+u^{2}) = u^{4}+u^{6}.
Agora integro termo a termo usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}.
Aplicando:
\int_{0}^{1}(u^{4}+u^{6})\,du = \left[\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}\right]_{0}^{1}.

Passo 5

Avalio a primitiva nos limites 0 e 1:
\left.\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{7}}{7}\right|_{0}^{1} = \left(\frac{1^{5}}{5}+\frac{1^{7}}{7}\right)-\left(\frac{0^{5}}{5}+\frac{0^{7}}{7}\right) = \frac{1}{5}+\frac{1}{7}.
Faço a soma com denominador comum 35:
\frac{1}{5}+\frac{1}{7}=\frac{7}{35}+\frac{5}{35}=\frac{12}{35}.

Resposta

\displaystyle \frac{12}{35}

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