Queremos o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Vamos transformar a integral para uma forma mais simples usando a substituição \,u=\tan\theta\,. Antes de aplicar, reviso duas coisas importantes (devagar, passo a passo):
A derivada da função \tan\theta em relação a \theta é \operatorname{sec}^{2}\theta. Em notação de diferenciais isso dá
du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Isto significa que sempre que eu vir um fator \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta posso trocá-lo por du.
A identidade trigonométrica fundamental que relaciona \operatorname{sec} e \tan é
\operatorname{sec}^{2}\theta=1+\tan^{2}\theta.
Vou usar essas duas observações para converter toda a integral em termos de u.
Passo 3
Reescrevo o integrando usando \tan\theta=u e \operatorname{sec}^{2}\theta=1+u^{2}. Note que \operatorname{sec}^{4}\theta=(\operatorname{sec}^{2}\theta)^{2}=(1+u^{2})^{2}. Substituindo: