(1,6pts) Resolva as EDOs de primeira ordem: \frac{d y}{d t}=2 \sqrt{y} \cos t \operatorname{com} y(0)=0.
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial:
\frac{d y}{d t}=2\sqrt{y}\cos t,\qquad y(0)=0.
O que se pede é encontrar as funções y(t) que satisfazem essa EDO e a condição inicial. Informação útil já visível: a equação é separável (podemos tentar separar y e t), e a presença de \sqrt{y} indica cuidado com o sinal de \sqrt{y} e com o ponto y=0 (por possível falha de unicidade).
Passo 2
Escolhi o método “separação de variáveis” porque a equação tem os termos com y multiplicando uma função de t e não contém y' de forma não-separável. Explicando a ideia: se a EDO pode ser escrita como g(y)\,dy = h(t)\,dt, integra-se ambos os lados para obter uma relação entre y e t.
A EDO é
\frac{dy}{dt}=2\sqrt{y}\cos t.
Para separar, supondo momentaneamente y(t)>0 (vamos tratar y=0 depois), dividimos por 2\sqrt{y}:
\frac{1}{2\sqrt{y}}\,dy=\cos t\,dt.
Passo 3
Integramos ambos os lados. Vou explicar a integral do lado esquerdo com calma: uma primitiva de \dfrac{1}{2\sqrt{y}} em relação a y é \sqrt{y}, porque
No lado direito, uma primitiva de \cos t em relação a t é \sin t. Assim, após integrar:
\sqrt{y}=\sin t + C,
onde C é constante de integração. Lembrete: \sqrt{y} representa a raiz não-negativa de y.
Passo 4
A partir de \sqrt{y}=\sin t + C obtemos, elevando ao quadrado,
y=(\sin t + C)^2.
Mas atenção importante (pedido didático): a igualdade original envolve \sqrt{y} (não \pm\sqrt{y}). Ao derivar y=(\sin t + C)^2 obtemos
\frac{dy}{dt}=2(\sin t + C)\cos t,
enquanto a EDO exige
\frac{dy}{dt}=2\sqrt{y}\cos t=2|\sin t + C|\cos t.
Portanto a solução quadrada y=(\sin t + C)^2 satisfaz a EDO apenas nas regiões onde \sin t + C\ge 0 (ou quando \cos t=0 e ambos os lados são zero). Em palavras: a fórmula está bem só se a raiz escolhida coincidir com \sin t + C não-negativo.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial y(0)=0. Da relação \sqrt{y(0)}=\sin 0 + C obtemos
Assim a constante é C=0 e a solução obtida pela separação é
\sqrt{y}=\sin t\quad\Rightarrow\quad y=\sin^2 t,
sujeita à observação do passo anterior (precisamos ter \sin t\ge 0 onde esta forma for aplicada).
Passo 6
Verificação e domínio da solução \sin^2 t. Calculamos a derivada:
\frac{d}{dt}\big(\sin^2 t\big)=2\sin t\cos t.
O lado direito da EDO com y=\sin^2 t é
2\sqrt{y}\cos t=2|\sin t|\cos t.
Comparando, vemos que 2\sin t\cos t=2|\sin t|\cos t só quando \sin t\ge 0 (ou quando \cos t=0, ambos são zero). Portanto y=\sin^2 t satisfaz a EDO em qualquer intervalo onde \sin t\ge 0. O maior intervalo contendo t=0 com essa propriedade é [0,\pi]. Logo y=\sin^2 t é solução no intervalo [0,\pi] (inclusive nas extremidades).
Passo 7
A solução y\equiv 0 também deve ser testada: se y(t)=0 então \dfrac{dy}{dt}=0 e o lado direito é 2\sqrt{0}\cos t=0, logo y\equiv 0 satisfaz a EDO e a condição inicial. Nota sobre unicidade: a função f(y,t)=2\sqrt{y}\cos t não é Lipschitz em y perto de y=0 (pois \partial f/\partial y é singular em y=0), portanto a unicidade do problema inicial pode falhar — por isso temos pelo menos duas soluções que satisfazem y(0)=0: a trivial y\equiv 0 e a não-trivial y=\sin^2 t (naqueles intervalos onde é válida).
Também é possível construir soluções por partes que ficam 0 até um certo tempo e depois seguem uma rama do tipo (\sin t + C)^2 desde que a condição de sinal seja observada; isso é consequência da falta de unicidade. Mas as duas soluções básicas que o enunciado costuma aceitar são as que seguem abaixo.
Resposta
y(t)\equiv 0
y(t)=\sin^2 t para t\in[0,\pi] (isto é, na vizinhança de 0 onde \sin t\ge 0).