(1,6pts) Resolva as EDOs de primeira ordem:
\frac{d y}{d x}=y+\frac{x}{y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{d y}{d x}=y+\frac{x}{y}.
Informações dadas:
  • A equação é a única condição; não há condição inicial fornecida.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), com constante(s) arbitrária(s) quando necessário.

Passo 2

Observação inicial e ideia-chave (explicada devagar): a equação é não linear por causa do termo \dfrac{x}{y}. Uma pista útil é notar que a derivada de y^2 envolve y\,\dfrac{dy}{dx}. Vamos explorar isso porque pode transformar a equação em algo linear — e equações lineares de primeira ordem a gente sabe resolver direitinho.
Lembrete rápido e útil:
\frac{d}{dx}\bigl(y^2\bigr)=2y\frac{dy}{dx}.
Se eu multiplicar a equação original por 2y (desde que y\neq0), a parte da direita pode simplificar de forma conveniente.

Passo 3

Multiplico ambas as mãos por 2y e uso a identidade acima:
2y\frac{dy}{dx}=2y\left(y+\frac{x}{y}\right)=2y^2+2x.
Defino agora uma nova função para simplificar: seja z(x)=y(x)^2. Então \dfrac{dz}{dx}=2y\,\dfrac{dy}{dx}. Assim a equação vira
\frac{dz}{dx}=2y^2+2x.
Como y^2=z, substituo e obtenho uma equação linear em z:
\frac{dz}{dx}=2z+2x,
ou, reescrevendo na forma padrão,
\frac{dz}{dx}-2z=2x.

Passo 4

Agora vamos resolver a equação linear de primeira ordem
\frac{dz}{dx}-2z=2x.
Método (explicando a fórmula usada): uma equação linear na forma \dfrac{dz}{dx}+p(x)z=q(x) tem fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. Aqui temos p(x)=-2, então
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.
Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
e^{-2x}\frac{dz}{dx}-2e^{-2x}z=2x e^{-2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}z\bigr). Logo
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}z\bigr)=2x e^{-2x}.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
e^{-2x}z=\int 2x e^{-2x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Vamos calcular a integral \int 2x e^{-2x}\,dx por partes (mostrando cada passo):
  • Escolho u=2x e dv=e^{-2x}dx. Então du=2dx e v=\int e^{-2x}dx=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
  • Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int 2x e^{-2x}\,dx = (2x)\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right) - \int \left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right)2\,dx.
Isso simplifica para
\int 2x e^{-2x}\,dx = -x e^{-2x} + \int e^{-2x}\,dx = -x e^{-2x} -\tfrac{1}{2}e^{-2x} + \text{const}.
Portanto podemos escrever (absorvendo constantes na constante C):
e^{-2x}z = e^{-2x}\bigl(-x-\tfrac{1}{2}\bigr) + C.

Passo 6

Multiplico por e^{2x} para isolar z:
z = -x-\tfrac{1}{2} + C e^{2x}.
Lembro que z=y^2, então
y^2 = C e^{2x} - x - \tfrac{1}{2},
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 7

Volto para y. Tirando raiz quadrada (escolhendo ramo positivo ou negativo conforme a solução desejada e lembrando das restrições):
y(x)=\pm\sqrt{\,C e^{2x} - x - \tfrac{1}{2}\,}.
Comentários sobre validade e domínio (importante para prova): a solução só faz sentido onde a expressão dentro da raiz for positiva; além disso, na equação original aparecia \dfrac{x}{y}, então precisamos que y(x)\neq0 no intervalo considerado. Portanto escolhe-se um intervalo onde C e^{2x}-x-\tfrac{1}{2}>0 e um sinal ( + ou -) constante para y nesse intervalo, garantindo y\neq0.

Passo 8

Verificação rápida (para ficar seguro): se y^2=C e^{2x}-x-\tfrac{1}{2}, então diferenciando dá 2y\,\dfrac{dy}{dx}=2C e^{2x}-1. Assim
\frac{dy}{dx}=\frac{2C e^{2x}-1}{2y}.
Por outro lado,
y+\frac{x}{y}=\frac{y^2+x}{y}=\frac{C e^{2x}-x-\tfrac{1}{2}+x}{y}=\frac{2C e^{2x}-1}{2y},
o que coincide com \dfrac{dy}{dx}. Logo a solução está correta (dentro do domínio onde tudo faz sentido).

Resposta

y(x)=\pm\sqrt{\,C e^{2x} - x - \tfrac{1}{2}\,}, com C\in\mathbb{R}, válida em intervalos onde C e^{2x}-x-\tfrac{1}{2}>0 (escolhendo sinal constante para evitar y=0).

Exercícios relacionados