(1,6pts) Resolva as EDOs de primeira ordem:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas:
- A equação é a única condição; não há condição inicial fornecida.
- O objetivo é encontrar a solução geral
, com constante(s) arbitrária(s) quando necessário.
Passo 2
Observação inicial e ideia-chave (explicada devagar): a equação é não linear por causa do termo
. Uma pista útil é notar que a derivada de
envolve
. Vamos explorar isso porque pode transformar a equação em algo linear — e equações lineares de primeira ordem a gente sabe resolver direitinho.
Lembrete rápido e útil:
Se eu multiplicar a equação original por
(desde que
), a parte da direita pode simplificar de forma conveniente.
Passo 3
Multiplico ambas as mãos por
e uso a identidade acima:
Defino agora uma nova função para simplificar: seja
. Então
. Assim a equação vira
Como
, substituo e obtenho uma equação linear em
:
ou, reescrevendo na forma padrão,
Passo 4
Agora vamos resolver a equação linear de primeira ordem
Método (explicando a fórmula usada): uma equação linear na forma
tem fator integrante
. Aqui temos
, então
Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Vamos calcular a integral
por partes (mostrando cada passo):
- Escolho
e . Então e . - Pela fórmula de integração por partes
:
Isso simplifica para
Portanto podemos escrever (absorvendo constantes na constante
):
Passo 6
Multiplico por
para isolar
:
Lembro que
, então
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 7
Volto para
. Tirando raiz quadrada (escolhendo ramo positivo ou negativo conforme a solução desejada e lembrando das restrições):
Comentários sobre validade e domínio (importante para prova): a solução só faz sentido onde a expressão dentro da raiz for positiva; além disso, na equação original aparecia
, então precisamos que
no intervalo considerado. Portanto escolhe-se um intervalo onde
e um sinal (
ou
) constante para
nesse intervalo, garantindo
.
Passo 8
Verificação rápida (para ficar seguro): se
, então diferenciando dá
. Assim
Por outro lado,
o que coincide com
. Logo a solução está correta (dentro do domínio onde tudo faz sentido).