Faça o modelo matemático de um reator CSTR não isotérmico. Considerações:
A) Reações: A --> B --> C;
B) Reações elementares;
C) Reações exotérmicas;
D) Volume variável;
E) Entrada apenas do reagente A
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas:
Pedir: construir um modelo matemático (equações dinâmicas) de um reator CSTR não isotérmico que satisfaça as seguintes condições:
Reações sequenciais: A \longrightarrow B \longrightarrow C.
Reações elementares.
Reações exotérmicas.
Volume do reator variável.
Entrada apenas do reagente A (ou seja, entrada de B e C são zero).
Informações implicadas (que usaremos no modelo):
Reator perfeitamente agitado (CSTR), saída com a mesma composição do conteúdo do reator.
Cinética elementar: as velocidades são proporcionais às concentrações dos reagentes envolvidos em cada etapa.
Reações exotérmicas: cada reação libera calor, quantificado por entalpias de reação.
Volume V(t) do reator pode variar com o tempo (há diferença entre vazão de entrada e saída).
Há troca de calor com ambiente / jaqueta (modelo de remoção de calor por coeficiente de troca térmica).
Somente A entra pela alimentação com concentração e temperatura conhecidas.
Passo 2
Definição das variáveis de estado, entradas e parâmetros (com unidades típicas):
Variáveis de estado (dependentes do tempo t):
V(t) : volume do reator [\mathrm{m^{3}}].
C_A(t),\,C_B(t),\,C_C(t) : concentrações molares no reator [\mathrm{mol\,m^{-3}}].
T(t) : temperatura do conteúdo do reator [K].
Entradas / sinais conhecidos:
F_{in}(t) : vazão volumétrica de alimentação [\mathrm{m^{3}s^{-1}}].
F_{out}(t) : vazão de saída [\mathrm{m^{3}s^{-1}}] (pode ser função de V ou uma entrada).
C_{A0}(t) : concentração de A na alimentação [\mathrm{mol\,m^{-3}}].
T_{in}(t) : temperatura da alimentação [K].
T_c(t) : temperatura do fluido de resfriamento da jaqueta [K].
Parâmetros físicos e cinéticos:
\rho : densidade do fluido (assumida constante) [\mathrm{kg\,m^{-3}}].
C_p : capacidade térmica massiva do fluido [\mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}].
\Delta H_1, \Delta H_2 : entalpias molares de reação para A\to B e B\to C [\mathrm{J\,mol^{-1}}]. Para reações exotérmicas, normalmente \Delta H_i<0.
U A : coeficiente global de troca de calor vezes área da jaqueta [\mathrm{J\,s^{-1}K^{-1}}].
k_{0,1},\,k_{0,2} : prefatores de Arrhenius [\mathrm{s^{-1}}].
E_1,\,E_2 : energias de ativação [\mathrm{J\,mol^{-1}}].
R : constante universal dos gases [\mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}] (aparecerá na lei de Arrhenius se usada).
Passo 3
Pressupostos físicos e modelagem (por que podemos usar as equações que virão):
Reator perfeitamente agitado: concentrações e temperatura no reator são homogêneas; saída tem as mesmas C_i e T.
Fluido praticamente incompressível, densidade \rho constante e C_p constante (isso facilita a forma do balanço de energia).
Não se inclui volume de fase gasosa separado nem efeitos de variação de densidade com temperatura; reações não alteram significativamente densidade.
Vazões volumétricas representáveis por F_{in} e F_{out}; o volume varia segundo \dfrac{dV}{dt}=F_{in}-F_{out}.
Troca de calor modelada por termo de convecção linear com a diferença de temperatura jaqueta-reactor: \dot{Q} = U A (T_c - T). Sinal positivo quando calor entra no reator.
Cinética elementar: taxas por unidade de volume r_1 e r_2 (mol \mathrm{m^{-3}s^{-1}}) definidas por lei de massa e dependentes da temperatura via Arrhenius.
Passo 4
Balanço de massa geral por espécie — formulação e explicação
Para qualquer espécie i em um CSTR com volume variável, o balanço geral é:
\frac{d}{dt}\bigl(V C_i\bigr) = \text{entrada molar de }i - \text{saída molar de }i + \text{produção líquida por reação (mol s}^{-1})
Explicação dos termos:
V C_i é o número de mols da espécie i no reator.
Entrada molar: F_{in} C_{i0} (se i não entra, C_{i0}=0).
Saída molar: F_{out} C_i (por mistura perfeita).
Produção por reação: soma algébrica das taxas volumétricas de produção/consumo multiplicadas por V.
Vamos aplicar esse balanço a cada espécie do sistema.
Passo 5
Balanço de massa para A — passo a passo
A reação que consome A é A \xrightarrow{r_1} B com taxa volumétrica r_1 [\mathrm{mol\,m^{-3}s^{-1}}].
Observação didática: o termo advectivo combinado com a variação de volume resulta em \dfrac{F_{in}}{V}(C_{A0}-C_A) — esta é a mesma forma que aparece para CSTR com volume constante, desde que se use \dfrac{dV}{dt}=F_{in}-F_{out}.
Passo 6
Balanço de massa para B e C
Para B: B é formado por r_1 e consumido por r_2. Não entra na alimentação (C_{B0}=0). Balanço:
Para C: produto final formado apenas por r_2, sem entrada (C_{C0}=0):
\frac{d}{dt}\bigl(V C_C\bigr)= - F_{out} C_C + V r_2,
portanto
\frac{dC_C}{dt} = -\frac{F_{in}}{V}C_C + r_2.
Dica prática para prova: derive explicitamente o caso de A e verá a mesma estrutura para B e C, só mudando o termo gerador/consumidor devido às reações.
Passo 7
Balanço de volume (variável) — explicação e equação
A equação de balanço volumétrico é simplesmente conservação de volume pelo somatório das vazões volumétricas:
\frac{dV}{dt} = F_{in} - F_{out}.
Comentário: se F_{in} e F_{out} forem dados (ou se F_{out} depender de V, ex.: F_{out} = k_v V), essa equação fecha o modelo do volume.
Passo 8
Cinética das reações (elementar) e dependência com a temperatura
Reações elementares implicam leis de velocidade do tipo:
r_1 = k_1(T)\,C_A,\qquad r_2 = k_2(T)\,C_B,
onde r_i tem unidades de \mathrm{mol\,m^{-3}s^{-1}}.
Dependência de Arrhenius para as constantes de taxa:
Primeiro par RHS: energia que entra com alimentação e sai com a corrente de saída por convecção.
V(-\Delta H_1 r_1 - \Delta H_2 r_2): geração de calor por reações; note que se \Delta H_i<0 (exotérmico), então -\Delta H_i>0 e o termo representa geração de calor positiva.
\dot{Q}: termo de troca de calor com jaqueta; escolhemos o modelo de troca linear:
\dot{Q} = U A \bigl(T_c - T\bigr),
sendo positivo quando calor entra no reator (se T_c>T).
Desenvolvendo e usando \dfrac{dV}{dt}=F_{in}-F_{out}, após alguns cancelamentos a equação do balanço de temperatura fica (dividindo por \rho C_p V):
Observação didática sobre sinais: como \Delta H_i<0 para exotérmicas, o termo -\Delta H_i r_i é positivo e aumenta T. A ação do resfriamento aparece em proporção a (T_c-T) com coeficiente \dfrac{UA}{\rho C_p V}.
Passo 10
Resumo do modelo dinâmico completo (variáveis e equações justificadas)
Condições iniciais necessárias para simular/usar o modelo:
C_A(0),C_B(0),C_C(0),T(0),V(0).
Passo 11
Observações práticas e dicas para prova / uso
Se desejar reduzir o modelo, pode-se desprezar C_C quando só interessam A e B (mas cuidado ao interpretar balanço de massa total).
Se F_{in}=F_{out} (caso especial), então V é constante e as equações ficam com \dfrac{F_{in}}{V} termo de diluição fixo; isso simplifica análise e estado estacionário.
Para linearização (controle) ou cálculo do ponto de equilíbrio, iguale todos os tempos-derivados a zero e resolva o sistema algébrico (atenção à não-linearidade do termo exponencial de Arrhenius).
Sempre verifique as unidades ao inserir parâmetros numéricos (por ex. \Delta H em \mathrm{J\,mol^{-1}}, \rho em \mathrm{kg\,m^{-3}}, C_p em \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}).