Faça o modelo matemático de um reator CSTR não isotérmico. Considerações:
A) Reações: A --> B --> C;
B) Reações elementares;
C) Reações exotérmicas;
D) Volume variável;
E) Entrada apenas do reagente A

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas:
  • Pedir: construir um modelo matemático (equações dinâmicas) de um reator CSTR não isotérmico que satisfaça as seguintes condições:
    • Reações sequenciais: A \longrightarrow B \longrightarrow C.
    • Reações elementares.
    • Reações exotérmicas.
    • Volume do reator variável.
    • Entrada apenas do reagente A (ou seja, entrada de B e C são zero).
  • Informações implicadas (que usaremos no modelo):
    • Reator perfeitamente agitado (CSTR), saída com a mesma composição do conteúdo do reator.
    • Cinética elementar: as velocidades são proporcionais às concentrações dos reagentes envolvidos em cada etapa.
    • Reações exotérmicas: cada reação libera calor, quantificado por entalpias de reação.
    • Volume V(t) do reator pode variar com o tempo (há diferença entre vazão de entrada e saída).
    • Há troca de calor com ambiente / jaqueta (modelo de remoção de calor por coeficiente de troca térmica).
    • Somente A entra pela alimentação com concentração e temperatura conhecidas.

Passo 2

Definição das variáveis de estado, entradas e parâmetros (com unidades típicas):
  • Variáveis de estado (dependentes do tempo t):
    • V(t) : volume do reator [ \mathrm{m^{3}}].
    • C_A(t),\,C_B(t),\,C_C(t) : concentrações molares no reator [ \mathrm{mol\,m^{-3}}].
    • T(t) : temperatura do conteúdo do reator [K].
  • Entradas / sinais conhecidos:
    • F_{in}(t) : vazão volumétrica de alimentação [ \mathrm{m^{3}s^{-1}}].
    • F_{out}(t) : vazão de saída [ \mathrm{m^{3}s^{-1}}] (pode ser função de V ou uma entrada).
    • C_{A0}(t) : concentração de A na alimentação [ \mathrm{mol\,m^{-3}}].
    • T_{in}(t) : temperatura da alimentação [K].
    • T_c(t) : temperatura do fluido de resfriamento da jaqueta [K].
  • Parâmetros físicos e cinéticos:
    • \rho : densidade do fluido (assumida constante) [ \mathrm{kg\,m^{-3}}].
    • C_p : capacidade térmica massiva do fluido [ \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}].
    • \Delta H_1, \Delta H_2 : entalpias molares de reação para A\to B e B\to C [ \mathrm{J\,mol^{-1}}]. Para reações exotérmicas, normalmente \Delta H_i<0.
    • U A : coeficiente global de troca de calor vezes área da jaqueta [ \mathrm{J\,s^{-1}K^{-1}}].
    • k_{0,1},\,k_{0,2} : prefatores de Arrhenius [ \mathrm{s^{-1}}].
    • E_1,\,E_2 : energias de ativação [ \mathrm{J\,mol^{-1}}].
    • R : constante universal dos gases [ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}] (aparecerá na lei de Arrhenius se usada).

Passo 3

Pressupostos físicos e modelagem (por que podemos usar as equações que virão):
  • Reator perfeitamente agitado: concentrações e temperatura no reator são homogêneas; saída tem as mesmas C_i e T.
  • Fluido praticamente incompressível, densidade \rho constante e C_p constante (isso facilita a forma do balanço de energia).
  • Não se inclui volume de fase gasosa separado nem efeitos de variação de densidade com temperatura; reações não alteram significativamente densidade.
  • Vazões volumétricas representáveis por F_{in} e F_{out}; o volume varia segundo \dfrac{dV}{dt}=F_{in}-F_{out}.
  • Troca de calor modelada por termo de convecção linear com a diferença de temperatura jaqueta-reactor: \dot{Q} = U A (T_c - T). Sinal positivo quando calor entra no reator.
  • Cinética elementar: taxas por unidade de volume r_1 e r_2 (mol \mathrm{m^{-3}s^{-1}}) definidas por lei de massa e dependentes da temperatura via Arrhenius.

Passo 4

Balanço de massa geral por espécie — formulação e explicação
Para qualquer espécie i em um CSTR com volume variável, o balanço geral é:
\frac{d}{dt}\bigl(V C_i\bigr) = \text{entrada molar de }i - \text{saída molar de }i + \text{produção líquida por reação (mol s}^{-1})íçãíçã
Explicação dos termos:
  • V C_i é o número de mols da espécie i no reator.
  • Entrada molar: F_{in} C_{i0} (se i não entra, C_{i0}=0).
  • Saída molar: F_{out} C_i (por mistura perfeita).
  • Produção por reação: soma algébrica das taxas volumétricas de produção/consumo multiplicadas por V.
Vamos aplicar esse balanço a cada espécie do sistema.

Passo 5

Balanço de massa para A — passo a passo
  • A reação que consome A é A \xrightarrow{r_1} B com taxa volumétrica r_1 [ \mathrm{mol\,m^{-3}s^{-1}}].
  • Balanço:
\frac{d}{dt}\bigl(V C_A\bigr) = F_{in} C_{A0} - F_{out} C_A - V r_1.
  • Desenvolvendo o lado esquerdo e isolando \dfrac{dC_A}{dt}:
V\frac{dC_A}{dt} + C_A\frac{dV}{dt} = F_{in} C_{A0} - F_{out} C_A - V r_1.
  • Usando \dfrac{dV}{dt}=F_{in}-F_{out} e rearranjando (mostrar cancelamentos) obtém-se a forma comum:
\frac{dC_A}{dt} = \frac{F_{in}}{V}\bigl(C_{A0}-C_A\bigr) - r_1.
Observação didática: o termo advectivo combinado com a variação de volume resulta em \dfrac{F_{in}}{V}(C_{A0}-C_A) — esta é a mesma forma que aparece para CSTR com volume constante, desde que se use \dfrac{dV}{dt}=F_{in}-F_{out}.

Passo 6

Balanço de massa para B e C
  • Para B: B é formado por r_1 e consumido por r_2. Não entra na alimentação ( C_{B0}=0). Balanço:
\frac{d}{dt}\bigl(V C_B\bigr)= - F_{out} C_B + V\bigl(r_1 - r_2\bigr).
Desenvolvendo e usando \dfrac{dV}{dt}=F_{in}-F_{out}, obtemos:
\frac{dC_B}{dt} = \frac{F_{in}}{V}\bigl(0 - C_B\bigr) + r_1 - r_2 = -\frac{F_{in}}{V}C_B + r_1 - r_2.
  • Para C: produto final formado apenas por r_2, sem entrada ( C_{C0}=0):
\frac{d}{dt}\bigl(V C_C\bigr)= - F_{out} C_C + V r_2,
portanto
\frac{dC_C}{dt} = -\frac{F_{in}}{V}C_C + r_2.
Dica prática para prova: derive explicitamente o caso de A e verá a mesma estrutura para B e C, só mudando o termo gerador/consumidor devido às reações.

Passo 7

Balanço de volume (variável) — explicação e equação
  • A equação de balanço volumétrico é simplesmente conservação de volume pelo somatório das vazões volumétricas:
\frac{dV}{dt} = F_{in} - F_{out}.
  • Comentário: se F_{in} e F_{out} forem dados (ou se F_{out} depender de V, ex.: F_{out} = k_v V), essa equação fecha o modelo do volume.

Passo 8

Cinética das reações (elementar) e dependência com a temperatura
  • Reações elementares implicam leis de velocidade do tipo:
r_1 = k_1(T)\,C_A,\qquad r_2 = k_2(T)\,C_B,
onde r_i tem unidades de \mathrm{mol\,m^{-3}s^{-1}}.
  • Dependência de Arrhenius para as constantes de taxa:
k_i(T) = k_{0,i}\exp\!\left(-\frac{E_i}{R T}\right),\qquad i=1,2,
onde k_{0,i} são prefatores, E_i energias de ativação e R a constante dos gases. (Se ja tiver dados experimentais, pode-se usar outra forma empírica.)

Passo 9

Balanço de energia — derivação passo a passo e sinais
  • Escrevemos o balanço de energia (entalpia) no reator, assumindo densidade e C_p constantes:
\frac{d}{dt}\bigl(V \rho C_p T\bigr) = \rho C_p F_{in} T_{in} - \rho C_p F_{out} T + V\bigl(-\Delta H_1 r_1 - \Delta H_2 r_2\bigr) + \dot{Q}.
Explicações dos termos:
  • LHS: acumulação de energia no fluido.
  • Primeiro par RHS: energia que entra com alimentação e sai com a corrente de saída por convecção.
  • V(-\Delta H_1 r_1 - \Delta H_2 r_2): geração de calor por reações; note que se \Delta H_i<0 (exotérmico), então -\Delta H_i>0 e o termo representa geração de calor positiva.
  • \dot{Q}: termo de troca de calor com jaqueta; escolhemos o modelo de troca linear:
\dot{Q} = U A \bigl(T_c - T\bigr),
sendo positivo quando calor entra no reator (se T_c>T).
  • Desenvolvendo e usando \dfrac{dV}{dt}=F_{in}-F_{out}, após alguns cancelamentos a equação do balanço de temperatura fica (dividindo por \rho C_p V):
\frac{dT}{dt} = \frac{F_{in}}{V}\bigl(T_{in}-T\bigr) + \frac{-\Delta H_1\,r_1 - \Delta H_2\,r_2}{\rho C_p} + \frac{\dot{Q}}{\rho C_p V}.
  • Substituindo \dot{Q}=U A (T_c-T) resulta:
\frac{dT}{dt} = \frac{F_{in}}{V}\bigl(T_{in}-T\bigr) + \frac{-\Delta H_1\,r_1 - \Delta H_2\,r_2}{\rho C_p} + \frac{U A}{\rho C_p V}\bigl(T_c - T\bigr).
Observação didática sobre sinais: como \Delta H_i<0 para exotérmicas, o termo -\Delta H_i r_i é positivo e aumenta T. A ação do resfriamento aparece em proporção a (T_c-T) com coeficiente \dfrac{UA}{\rho C_p V}.

Passo 10

Resumo do modelo dinâmico completo (variáveis e equações justificadas)
  • Definir explicitamente r_1 e r_2:
r_1 = k_{1}(T)\,C_A,\qquad r_2 = k_{2}(T)\,C_B,
k_i(T) = k_{0,i}\exp\!\left(-\frac{E_i}{R T}\right),\qquad i=1,2.
  • Sistema de equações finais (estado: \bigl(C_A,C_B,C_C,T,V\bigr)):
\frac{dC_A}{dt} = \frac{F_{in}}{V}\bigl(C_{A0}-C_A\bigr) - k_1(T)\,C_A,
\frac{dC_B}{dt} = -\frac{F_{in}}{V}C_B + k_1(T)\,C_A - k_2(T)\,C_B,
\frac{dC_C}{dt} = -\frac{F_{in}}{V}C_C + k_2(T)\,C_B,
\frac{dV}{dt} = F_{in} - F_{out},
\frac{dT}{dt} = \frac{F_{in}}{V}\bigl(T_{in}-T\bigr) + \frac{-\Delta H_1\,k_1(T)\,C_A - \Delta H_2\,k_2(T)\,C_B}{\rho C_p} + \frac{U A}{\rho C_p V}\bigl(T_c - T\bigr).
  • Condições iniciais necessárias para simular/usar o modelo:
    • C_A(0),C_B(0),C_C(0),T(0),V(0).

Passo 11

Observações práticas e dicas para prova / uso
  • Se desejar reduzir o modelo, pode-se desprezar C_C quando só interessam A e B (mas cuidado ao interpretar balanço de massa total).
  • Se F_{in}=F_{out} (caso especial), então V é constante e as equações ficam com \dfrac{F_{in}}{V} termo de diluição fixo; isso simplifica análise e estado estacionário.
  • Para linearização (controle) ou cálculo do ponto de equilíbrio, iguale todos os tempos-derivados a zero e resolva o sistema algébrico (atenção à não-linearidade do termo exponencial de Arrhenius).
  • Sempre verifique as unidades ao inserir parâmetros numéricos (por ex. \Delta H em \mathrm{J\,mol^{-1}}, \rho em \mathrm{kg\,m^{-3}}, C_p em \mathrm{J\,kg^{-1}K^{-1}}).

Resposta

r_1 = k_{1}(T)\,C_A,\qquad r_2 = k_{2}(T)\,C_B,
k_i(T) = k_{0,i}\exp\!\left(-\frac{E_i}{R T}\right),\qquad i=1,2,
\frac{dC_A}{dt} = \frac{F_{in}}{V}\bigl(C_{A0}-C_A\bigr) - k_1(T)\,C_A,
\frac{dC_B}{dt} = -\frac{F_{in}}{V}C_B + k_1(T)\,C_A - k_2(T)\,C_B,
\frac{dC_C}{dt} = -\frac{F_{in}}{V}C_C + k_2(T)\,C_B,
\frac{dV}{dt} = F_{in} - F_{out},
\frac{dT}{dt} = \frac{F_{in}}{V}\bigl(T_{in}-T\bigr) + \frac{-\Delta H_1\,k_1(T)\,C_A - \Delta H_2\,k_2(T)\,C_B}{\rho C_p} + \frac{U A}{\rho C_p V}\bigl(T_c - T\bigr).

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