3.4Q Se a probabilidade Pn de um fóton receptor absorver exatamente n fótons é dada por Pn=e^-lambda lambda^nn!, lambda>0, mostre que sumn=0^infty Pn=1.

Passo 1

O enunciado descreve a distribuição de Poisson, em que a probabilidade de absorver exatamente n fótons é
Pn = e^-lambda,lambda^nn!, lambda>0
O objetivo é mostrar que a soma de todas as probabilidades é igual a 1,
sumn=0^inftyPn=1
Para isso vamos usar a série do exponencial.

Passo 2

Escrevemos a soma e fatoramos o termo comum e^-lambda:
sumn=0^inftyPn = sumn=0^infty e^-lambda,lambda^nn! = e^-lambda,sumn=0^inftylambda^nn!

Passo 3

Reconhecemos que a série
sumn=0^inftylambda^nn!
é a definição de e^lambda, pois pela expansão em série de Taylor do exponencial temos
e^lambda = sumn=0^inftylambda^nn!

Passo 4

Substituindo de volta na soma original:
sumn=0^inftyPn = e^-lambda,l(e^lambdar) = 1

Resposta

1

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