1. Considere a função F(x)=f(x^2 sen(-pi x)). Sabendo que f^prime(-1)=pi, f^prime(0)=6 e f^prime(1)=3 pi, determine F^prime(1).
Pela regra da cadeia, temos que
F^prime(x)=f^prime(x^2 sen(-pi x)) cdot[2 x sen(-pi x)-pi x^2 cos (-pi x)]
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F^prime(1)=f^prime(1 cdot 0) cdot[2 cdot 1 cdot 0-pi cdot 1 cdot(-1)]=pi cdot f^prime(0)=6 pi

Passo 1

O enunciado dá
F(x)=fl(x^2sen(-pi x)r)
e fornece os valores de f'(-1)=pi, f'(0)=6 e f'(1)=3pi.
O conteúdo aqui é derivada de função composta, ou seja, a regra da cadeia: se F(x)=f(u(x)) então
F'(x)=f'l(u(x)r),l[u'(x)r]

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=x^2sen(-pi x),
de modo que
F'(x)=f'l(u(x)r);u'(x)

Passo 3

Para encontrar u'(x) usamos regra do produto e, dentro dela, regra da cadeia em sen(-pi x):
u'(x)=ddxl[x^2r]cdotsen(-pi x)+x^2cdotddxl[sen(-pi x)r] =2x,sen(-pi x)+x^2cos(-pi x)cdot(-pi)
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u'(x)=2x,sen(-pi x);-;pi,x^2cos(-pi x)

Passo 4

Agora avaliamos em x=1:
u(1)=1^2sen(-pi)=sen(-pi)=0,
u'(1)=2cdot1cdotsen(-pi);-;picdot1^2cos(-pi) =0;-;picdot(-1)=pi

Passo 5

Finalmente, pela regra da cadeia em x=1:
F'(1)=f'l(u(1)r);u'(1)=f'(0)cdotpi=6cdotpi

Resposta

6pi

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