1. Considere a função F(x)=f(x^2 sen(pi x)). Sabendo que f^prime(-1)=pi, f^prime(0)=6 e f^prime(1)=3 pi, determine F^prime(-1).
Pela regra da cadeia, temos que
F^prime(x)=f^prime(x^2 sen(pi x)) cdot[2 x sen(pi x)+pi x^2 cos (pi x)]
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F^prime(-1)=f^prime(1 cdot 0) cdot[2 cdot(-1) cdot 0+pi cdot 1 cdot(-1)]=-pi cdot f^prime(0)=-6 pi

Passo 1

O enunciado define
F(x)=fl(x^2sin(pi x)r)
e dá os valores f'(-1)=pi, f'(0)=6 e f'(1)=3pi.
Queremos F'(-1).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, que diz
F'(x)=f'l(g(x)r),g'(x),
onde g(x)=x^2sin(pi x).

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=x^2sin(pi x)
Calculamos o valor de g em -1:
g(-1)=(-1)^2sinl(picdot(-1)r)=1cdotsin(-pi)=0

Passo 3

Agora derivamos g(x) usando a regra do produto e a derivada de sin(pi x):
g'(x)=ddxl(x^2r)sin(pi x)+x^2ddxl(sin(pi x)r) =2xsin(pi x)+x^2l(picos(pi x)r)

Passo 4

Avaliamos g'(-1):
g'(-1)=2cdot(-1)sin(-pi)+picdot(-1)^2cos(-pi) =-2cdot0+picdot1cdot(-1)=-pi

Passo 5

Finalmente, pela regra da cadeia,
F'(-1)=f'l(g(-1)r),g'(-1)=f'(0)times(-pi)
Como f'(0)=6, segue que
F'(-1)=6cdot(-pi)=-6pi

Resposta

-6pi

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