1. Sejam e constantes com . Determine o(s) intervalo(s) onde é crescente e o(s) intervalo(s) onde tem concavidade para cima, sendo:
Inicialmente, vamos calcular a derivada de :
Vamos determinar os pontos críticos de :
Estudo do sinal de :
Intervalo
Sinal de + - +
Comportamento de crescente decrescente crescente
Calculando a derivada segunda de , temos:
Estudo do sinal de :
Intervalo
Sinal de - +
Concavidade de para baixo para cima

Passo 1

O enunciado pede que encontremos os intervalos em que a função
f(x)=x^33-(a+b),x^22+ab,x+a^2+b^2
é crescente (isto é, onde f'>0) e onde tem concavidade para cima (onde f''>0). Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de f e estudar o sinal delas.

Passo 2

Calculando a primeira derivada temos
f'(x)=ddxl(x^33r)-ddxl((a+b)x^22r)+ddx(ab,x)+ddx(a^2+b^2)
que dá
f'(x)=x^2-(a+b),x+ab
Fatorando a expressão quadrática, notamos que
x^2-(a+b)x+ab=(x-a)(x-b),
logo os pontos críticos são x=a e x=b.

Passo 3

Como o coeficiente de
Isso significa que e em , e decrescente em .

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada:
O zero de
Ou seja, e côncava para cima em .

Resposta

A função é crescente em (-infty,a) e em (b,infty).
A função tem concavidade para cima em l(tfraca+b2,inftyr).

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