- Sejam
e
constantes com
. Determine o(s) intervalo(s) onde
é crescente e o(s) intervalo(s) onde
tem concavidade para cima, sendo:
Inicialmente, vamos calcular a derivada de
:
Vamos determinar os pontos críticos de
:
Estudo do sinal de
:
Intervalo
Sinal de
+
-
+
Comportamento de
crescente
decrescente
crescente
Calculando a derivada segunda de
, temos:
Estudo do sinal de
:
Intervalo
Sinal de
-
+
Concavidade de
para baixo
para cima
Intervalo |
|
|
|
Sinal de
|
+ | - | + |
Comportamento de
|
crescente | decrescente | crescente |
Intervalo |
|
|
Sinal de
|
- | + |
Concavidade de
|
para baixo | para cima |
Passo 1
O enunciado pede que encontremos os intervalos em que a função
é crescente (isto é, onde
) e onde tem concavidade para cima (onde
). Para isso vamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
e estudar o sinal delas.
Passo 2
Calculando a primeira derivada temos
que dá
Fatorando a expressão quadrática, notamos que
logo os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Como o coeficiente de
Isso significa que e em
, e decrescente em
.
Passo 4
Agora calculamos a segunda derivada:
O zero de
Ou seja, e côncava para cima em
.
Resposta
A função é crescente em
e em
.
A função tem concavidade para cima em .
A função tem concavidade para cima em