4)Quando um produto é desenvolvido para o consumo é recomendável que ele apresente uma validade de uns dois anos.As vezes isso significa que o percentual da substância ativa no produto diminua no máximo
em dois anos.Calcule a constante de velocidade e o tempo de meia-vida para uma reação de decomposição da substância ativa de primeira ordem.Que informação adicional seria necessária se a reação fosse de segunda ordem?
Passo 1
O enunciado diz que, para um produto, a percentagem da substância ativa diminui no máximo
em
anos. As perguntas são:
- Calcular a constante de velocidade
para uma reação de decomposição de primeira ordem. - Calcular o tempo de meia‑vida
para essa mesma reação de primeira ordem. - Dizer que informação adicional seria necessária se a reação fosse de segunda ordem.
Informações relevantes fornecidas:
- Tempo dado:
anos. - Fração restante após
anos: , ou seja .
Passo 2
Entendimento e fórmulas úteis (aulas rápidas e sem pular etapas).
Para uma reação de primeira ordem a velocidade instantânea é proporcional à quantidade/concentração da substância
. A equação diferencial é
onde:
-
é a concentração da substância ativa (por ex., em mol·L^{-1}), função do tempo , -
é a constante de velocidade (unidade: ; aqui ), - o sinal negativo indica que
diminui com o tempo.
Para obter a forma integrada (que relaciona
com
e
) separamos variáveis e integramos:
Integrando de
(quando
) até tempo
(quando
):
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
. Logo a forma integrada é:
ou equivalentemente
Essa é a fórmula que vamos usar.
Passo 3
Usar a condição do enunciado para achar
.
Sabemos que
quando
anos. Substituindo na forma integrada:
Isolando
:
Aqui expliquei cada símbolo:
-
é a fração restante após anos (peguei isso do enunciado), - o fator
é o tempo em anos, - o sinal menos vem da equação integrada.
Passo 4
Cálculo numérico de
(contas passo a passo sem pular etapas).
Calcule
. Aproximação:
Então
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas) fica
Passo 5
Encontrar o tempo de meia‑vida para primeira ordem e calcular numericamente.
Para reações de primeira ordem o tempo de meia‑vida
(tempo para a concentração cair para metade) independe de
e é dado por
Explicando:
vem de substituir
na equação integrada
.
Substituindo o valor de
encontrado:
Arredondando:
Passo 6
O que seria necessário no caso de reação de segunda ordem (explicação didática).
Se a reação fosse de segunda ordem (assumindo ordem dois na própria substância
, isto é velocidade
), a lei diferencial é
Separando e integrando obtemos a forma integrada:
Note que aqui aparece explicitamente
. Para determinar
a partir da razão
precisamos do valor numérico de
(em unidades de concentração, por ex., mol·L^{-1}), porque
Portanto a informação adicional necessária é o valor da concentração inicial
(e suas unidades). Observações úteis:
- A unidade de
para segunda ordem é (por ex., L·mol{-1}·ano{-1}). - O tempo de meia‑vida para segunda ordem depende de
: , então também precisa de para calcular .
Resposta
Se a reação fosse de segunda ordem, seria necessário conhecer a concentração inicial