4)Quando um produto é desenvolvido para o consumo é recomendável que ele apresente uma validade de uns dois anos.As vezes isso significa que o percentual da substância ativa no produto diminua no máximo 5 \% em dois anos.Calcule a constante de velocidade e o tempo de meia-vida para uma reação de decomposição da substância ativa de primeira ordem.Que informação adicional seria necessária se a reação fosse de segunda ordem?

Passo 1

O enunciado diz que, para um produto, a percentagem da substância ativa diminui no máximo 5\% em 2 anos. As perguntas são:
  1. Calcular a constante de velocidade k para uma reação de decomposição de primeira ordem.
  2. Calcular o tempo de meia‑vida t_{1/2} para essa mesma reação de primeira ordem.
  3. Dizer que informação adicional seria necessária se a reação fosse de segunda ordem.
Informações relevantes fornecidas:
  • Tempo dado: t=2 anos.
  • Fração restante após 2 anos: 100\%-5\%=95\%, ou seja \dfrac{[A]_t}{[A]_0}=0,95.

Passo 2

Entendimento e fórmulas úteis (aulas rápidas e sem pular etapas).
Para uma reação de primeira ordem a velocidade instantânea é proporcional à quantidade/concentração da substância [A]. A equação diferencial é
\frac{d[A]}{dt} = -k [A],
onde:
  • [A] é a concentração da substância ativa (por ex., em mol·L^{-1}), função do tempo t,
  • k é a constante de velocidade (unidade: \text{tempo}^{-1}; aqui \text{ano}^{-1}),
  • o sinal negativo indica que [A] diminui com o tempo.
Para obter a forma integrada (que relaciona [A]_t com [A]_0 e t) separamos variáveis e integramos:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\, dt.
Integrando de t=0 (quando [A]=[A]_0) até tempo t (quando [A]=[A]_t):
\int_{[A]_0}^{[A]_t} \frac{d[A]}{[A]} = -k \int_0^t dt.
A integral do lado esquerdo é \ln([A]_t)-\ln([A]_0)=\ln\!\big(\tfrac{[A]_t}{[A]_0}\big) e a do lado direito é -kt. Logo a forma integrada é:
\ln\!\left(\frac{[A]_t}{[A]_0}\right) = -k t,
ou equivalentemente
[A]_t = [A]_0\, e^{-k t}.
Essa é a fórmula que vamos usar.

Passo 3

Usar a condição do enunciado para achar k.
Sabemos que \dfrac{[A]_t}{[A]_0}=0,95 quando t=2 anos. Substituindo na forma integrada:
\ln(0,95) = -k\cdot 2.
Isolando k:
k = -\frac{1}{2}\ln(0,95).
Aqui expliquei cada símbolo:
  • 0,95 é a fração restante após 2 anos (peguei isso do enunciado),
  • o fator 2 é o tempo em anos,
  • o sinal menos vem da equação integrada.

Passo 4

Cálculo numérico de k (contas passo a passo sem pular etapas).
Calcule \ln(0,95). Aproximação:
\ln(0,95)\approx -0,051293.
Então
k = -\frac{1}{2}(-0,051293)=\frac{0,051293}{2}=0,0256465\\ \text{ano}^{-1}.
Arredondando de forma razoável (duas ou três casas significativas) fica
k \approx 0,02565\\ \text{ano}^{-1}.

Passo 5

Encontrar o tempo de meia‑vida para primeira ordem e calcular numericamente.
Para reações de primeira ordem o tempo de meia‑vida t_{1/2} (tempo para a concentração cair para metade) independe de [A]_0 e é dado por
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k}.
Explicando: \ln 2 vem de substituir [A]_t/[A]_0=1/2 na equação integrada \ln([A]_t/[A]_0)=-kt.
Substituindo o valor de k encontrado:
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{0,0256465}\approx \frac{0,693147}{0,0256465}\approx 27,03\\ \text{anos}.
Arredondando:
t_{1/2}\approx 27,0\\ \text{anos}.

Passo 6

O que seria necessário no caso de reação de segunda ordem (explicação didática).
Se a reação fosse de segunda ordem (assumindo ordem dois na própria substância A, isto é velocidade \propto [A]^2), a lei diferencial é
\frac{d[A]}{dt} = -k [A]^2.
Separando e integrando obtemos a forma integrada:
\frac{1}{[A]_t} = \frac{1}{[A]_0} + k t.
Note que aqui aparece explicitamente \dfrac{1}{[A]_0}. Para determinar k a partir da razão \dfrac{[A]_t}{[A]_0}=0,95 precisamos do valor numérico de [A]_0 (em unidades de concentração, por ex., mol·L^{-1}), porque
k = \frac{1}{t}\left(\frac{1}{[A]_t}-\frac{1}{[A]_0}\right) = \frac{1}{t}\cdot\frac{1}{[A]_0}\left(\frac{1}{0,95}-1\right).
Portanto a informação adicional necessária é o valor da concentração inicial [A]_0 (e suas unidades). Observações úteis:
  • A unidade de k para segunda ordem é \text{concentração}^{-1}\cdot\text{tempo}^{-1}çã (por ex., L·mol{-1}·ano{-1}).
  • O tempo de meia‑vida para segunda ordem depende de [A]_0: \;t_{1/2}=\dfrac{1}{k [A]_0}, então também precisa de [A]_0 para calcular t_{1/2}.

Resposta

k \approx 0,02565\\ \text{ano}^{-1}
t_{1/2} \approx 27,0\\ \text{anos}
Se a reação fosse de segunda ordem, seria necessário conhecer a concentração inicial [A]_0 (valor numérico e unidades) para poder calcular k e t_{1/2}.

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