3.4R Represente as integrais
e
por séries de potências de
, indicando o intervalo de convergência de cada uma delas. Em cada caso o integrando em
é definido pelo limite quando
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever as integrais
como séries de potências em
, indicando o intervalo de convergência. Vamos usar as séries de Taylor conhecidas de
e de
e integrar termo a termo no intervalo de convergência desses desenvolvimentos.
Passo 2
Começando por
, para
temos a expansão
Logo o integrando é
válido para
.
Passo 3
Integramos termo a termo em
de
até
(a troca de integral e soma é permitida pois a série converge uniformemente em qualquer compacto de
):
Passo 4
A série
é uma série de potências com raio de convergência
, ou seja, converge para
.
Passo 5
Agora para
usamos a expansão válida para todo
:
portanto
Passo 6
Integramos termo a termo de
até
:
Passo 7
A série
é de raio infinito (
), logo converge para todo
.