3.4R Represente as integrais integral0^x ln (1-t)t d t e integral0^x e^t-1t d t por séries de potências de x, indicando o intervalo de convergência de cada uma delas. Em cada caso o integrando em t=0 é definido pelo limite quando t 0.

Passo 1

O enunciado pede para escrever as integrais
I1(x)=integral0^xln(1-t)t,dt e I2(x)=integral0^xe^t-1t,dt
como séries de potências em x, indicando o intervalo de convergência. Vamos usar as séries de Taylor conhecidas de ln(1-t) e de e^t e integrar termo a termo no intervalo de convergência desses desenvolvimentos.

Passo 2

Começando por ln(1-t), para |t|<1 temos a expansão
ln(1-t)=-sumn=1^inftyt^nn
Logo o integrando é
ln(1-t)t =-sumn=1^inftyt^n-1n,
válido para |t|<1.

Passo 3

Integramos termo a termo em t de 0 até x (a troca de integral e soma é permitida pois a série converge uniformemente em qualquer compacto de |t|<1):
I1(x) =integral0^xl(-sumn=1^inftyt^n-1nr),dt =-sumn=1^infty1nintegral0^xt^n-1,dt =-sumn=1^inftyx^nn^2

Passo 4

A série
-sumn=1^inftyx^nn^2
é uma série de potências com raio de convergência R=1, ou seja, converge para |x|<1.

Passo 5

Agora para e^t usamos a expansão válida para todo t:
e^t=1+sumn=1^inftyt^nn!,
portanto
e^t-1t =sumn=1^inftyt^n-1n!

Passo 6

Integramos termo a termo de 0 até x:
I2(x) =integral0^xsumn=1^inftyt^n-1n!,dt =sumn=1^infty1n!integral0^xt^n-1,dt =sumn=1^inftyx^nn,n!

Passo 7

A série
sumn=1^inftyx^nn,n!
é de raio infinito ( R=infty), logo converge para todo xinR.

Resposta

integral0^xln(1-t)t,dt =-sumn=1^inftyx^nn^2, |x|<1,
integral0^xe^t-1t,dt =sumn=1^inftyx^nn,n!, xinR

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