Calcule a área delimitada
j) pelas parábolas y=-x^2+6 x e y=x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas parábolas
y1 = -x^2 + 6x e y2 = x^2 - 2x.
Para isso, vamos (i) determinar os pontos de interseção para achar o intervalo de integração e (ii) integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Igualamos as duas expressões para encontrar os valores de x em que elas se cruzam:
-x^2 + 6x = x^2 - 2x
Reordenando,
-2x^2 + 8x = 0 Longrightarrow -2x(x - 4) = 0
logo os pontos de interseção são
x = 0 e x = 4.

Passo 3

Para ver qual curva está por cima entre x=0 e x=4, avaliamos em x=1:
y1(1) = -1 + 6 = 5, y2(1) = 1 - 2 = -1
Como y1(1)>y2(1), concluímos que
y1 = -x^2+6x é o teto e
y2 = x^2-2x é o piso da região.

Passo 4

A área procurada é
integral0^4l[y1(x)-y2(x)r],dx = integral0^4l[(-x^2+6x) - (x^2-2x)r],dx = integral0^4(-2x^2+8x),dx
Calculemos a primitiva:
integral(-2x^2+8x),dx = -23x^3 + 4x^2

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 4:
(-23cdot4^3 + 4cdot4^2) - (-23cdot0^3 + 4cdot0^2) = -1283 + 64 = 643

Resposta

643

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