Para cada , seja .
(a) Encontre os autovalores de Aalpha e respectivas multiplicidades algébricas.
(b) Determine uma base (de autovetores) para cada autoespaço Vlambda de Aalpha.
(c) Prove que Aalpha é diagonalizável para qualquer alpha, e encontre uma matriz mudança de base Salpha e a matriz diagonal Dalpha tal que Aalpha=Salpha^-1 Dalpha Salpha.
Passo 1
O enunciado dá a família de matrizes
Aalpha= 1 & 2 & 0 2 & 1 & 0 0 & 0 & alpha ,
e pede:
– (a) os autovalores de Aalpha e suas multiplicidades algébricas;
– (b) uma base de cada autoespaço Vlambda;
– (c) provar que Aalpha é diagonalizável para todo alphainR e encontrar uma mudança de base Salpha e a diagonal Dalpha tais que
Aalpha=Salpha^-1DalphaSalpha
Vamos usar o fato de que Aalpha tem um bloco 2times2 e um bloco 1times1.
det 1-lambda & 2 2 & 1-lambda =(1-lambda)^2-4 =lambda^2-2lambda-3 =(lambda-3)(lambda+1)
Logo
p(lambda)=(lambda-3)(lambda+1)(alpha-lambda)
Dessa forma os autovalores são
lambda1=3, lambda2=-1, lambda3=alpha
Cada um aparece com multiplicidade algébrica 1, exceto se alpha=3 ou alpha=-1, caso em que o autovalor repetido tem multiplicidade algébrica 2.
Passo 3
Agora determinamos os autoespaços:
Para , resolvemos
Da primeira linha vem . Da terceira linha vem , mas como procuramos o autoespaço de (ou mesmo se , teríamos livre), escolhemos para obter um gerador simples. Logo
Para ,
dá e, de novo, para um gerador. Assim
Para ,
Aqui vemos imediatamente que podemos escolher , e livre, gerando
Passo 4
Como encontramos três vetores próprios linearmente independentes (1,1,0), (1,-1,0) e (0,0,1) para todo alpha, concluímos que dim V3+dim V-1+dim Valpha=3. Logo Aalpha é diagonalizável para qualquer alpha.
Tomando como colunas de Salpha exatamente esses vetores, temos
(a) Os autovalores são , e , cada um com multiplicidade algébrica 1 (exceto quando ou , em que há um autovalor de multiplicidade algébrica 2).
(b) Bases dos autoespaços:
(c) A matriz é sempre diagonalizável. Uma escolha de mudança de base e diagonal é