(1, 0) Seja W=<v1, v2> o subespaço do R^3 gerado pelos vetores v1=(1,1,1) e v2= (0,-1,1). Em cada item, avalie se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando detalhadamente sua resposta:
(a) Se [l1 2] são as coordenadas do vetor u in W na base v1, v2, então u=(1,-1,3).
(b) O conjunto v1+v2, v1-v2 constitui uma base para W.
(c) Existe um vetor v3 do R^3 tal que v3 notin W e v1, v2, v3 é uma base do R^3.
(d) Existe ao menos uma transformação linear sobrejetora de W sobre o R^3.
(e) Existe um operador linear sobre o R^3 cujo núcleo é W.

Passo 1

O enunciado define o subespaço WsubsetR^3 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1), v2=(0,-1,1)
Os itens envolvem conceitos de coordenadas numa base de W, independência linear e base de subespaços, dimensão, existência de transformações lineares sobrejetoras e núcleo de operadores lineares. Vamos usar: (i) definição de coordenadas em base, (ii) critério de independência linear em R^3, (iii) argumento de dimensão de subespaços, (iv) teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Item (a): se l[,1;;2r]^T são as coordenadas de uin W na base v1,v2, então
u = 1cdot v1 + 2cdot v2 = (1,1,1) + 2,(0,-1,1) = (1,,1-2,,1+2) = (1,-1,3)
Logo a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Item (b): os vetores
v1+v2 = (1,1,1)+(0,-1,1) = (1,0,2), v1-v2 = (1,1,1)-(0,-1,1) = (1,2,0)
Para ver se formam base de W basta checar independência linear: não existe alpha,beta não triviais tais que
alpha(1,0,2)+beta(1,2,0)=(0,0,0), pois isso levaria ao sistema
alpha+beta=0, 0alpha+2beta=0, 2alpha+0beta=0
que implica alpha=beta=0. Como são dois vetores independentes num subespaço de dimensão dim W=2, eles formam base de W. Afirmação verdadeira.

Passo 4

Item (c): dim W=2<3=dimR^3. Qualquer vetor v3notin W junto com v1,v2 forma um conjunto de três vetores independentes em R^3, logo é base de R^3. Por exemplo, v3=(1,0,0)notin W. Afirmação verdadeira.

Passo 5

Item (d): uma transformação linear de W (dimensão 2) para R^3 (dimensão 3) não pode ser sobrejetora, pois a imagem tem dimensão no máximo dim W=2<3. Pelo teorema do posto, não existe sobrejeção. Afirmação falsa.

Passo 6

Item (e): queremos T:R^3toR^3 linear com ker T=W. Como dim W=2, então dimker T=2 implica rankT=1 por posto-nulidade. Basta escolher um vetor normal a W, por exemplo
n = v1 times v2 = (2,-1,-1),
e definir
T(x)= (ncdot x),n
Claramente T é linear e T(x)=0 se e só se ncdot x=0, ou seja xin W. Afirmação verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Verdadeira.

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