(1, 0) Seja o subespaço do gerado pelos vetores e . Em cada item, avalie se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando detalhadamente sua resposta:
(a) Se são as coordenadas do vetor u in W na base v1, v2, então u=(1,-1,3).
(b) O conjunto v1+v2, v1-v2 constitui uma base para W.
(c) Existe um vetor v3 do R^3 tal que v3 notin W e v1, v2, v3 é uma base do R^3.
(d) Existe ao menos uma transformação linear sobrejetora de W sobre o R^3.
(e) Existe um operador linear sobre o R^3 cujo núcleo é W.
Passo 1
O enunciado define o subespaço WsubsetR^3 gerado pelos vetores
v1=(1,1,1), v2=(0,-1,1)
Os itens envolvem conceitos de coordenadas numa base de W, independência linear e base de subespaços, dimensão, existência de transformações lineares sobrejetoras e núcleo de operadores lineares. Vamos usar: (i) definição de coordenadas em base, (ii) critério de independência linear em R^3, (iii) argumento de dimensão de subespaços, (iv) teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Item (a): se l[,1;;2r]^T são as coordenadas de uin W na base v1,v2, então
Para ver se formam base de W basta checar independência linear: não existe alpha,beta não triviais tais que alpha(1,0,2)+beta(1,2,0)=(0,0,0), pois isso levaria ao sistema
alpha+beta=0, 0alpha+2beta=0, 2alpha+0beta=0
que implica alpha=beta=0. Como são dois vetores independentes num subespaço de dimensão dim W=2, eles formam base de W. Afirmação verdadeira.
Passo 4
Item (c): dim W=2<3=dimR^3. Qualquer vetor v3notin W junto com v1,v2 forma um conjunto de três vetores independentes em R^3, logo é base de R^3. Por exemplo, v3=(1,0,0)notin W. Afirmação verdadeira.
Passo 5
Item (d): uma transformação linear de W (dimensão 2) para R^3 (dimensão 3) não pode ser sobrejetora, pois a imagem tem dimensão no máximo dim W=2<3. Pelo teorema do posto, não existe sobrejeção. Afirmação falsa.
Passo 6
Item (e): queremos T:R^3toR^3 linear com ker T=W. Como dim W=2, então dimker T=2 implica rankT=1 por posto-nulidade. Basta escolher um vetor normal a W, por exemplo
n = v1 times v2 = (2,-1,-1),
e definir
T(x)= (ncdot x),n
Claramente T é linear e T(x)=0 se e só se ncdot x=0, ou seja xin W. Afirmação verdadeira.