3.4S Usando uma série de potências adequada, aproxime cada integral dada abaixo com 4 casas decimais:
integral0^0.5 e^-x^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
integral0^0.5e^-x^3,dx
com quatro casas decimais usando uma série de potências. O conteúdo necessário é o desenvolvimento em série de Taylor de e^-x^3 e a integração termo a termo, além de um critério de parada para garantir a precisão de 10^-4.

Passo 2

Desenvolvemos
e^-x^3=sumn=0^infty(-1)^nn!,x^3n

Passo 3

Integramos termo a termo de 0 a 0,5:
integral0^0.5e^-x^3,dx =sumn=0^infty(-1)^nn!integral0^0.5x^3n,dx =sumn=0^infty(-1)^nn!,(0.5)^3n+13n+1

Passo 4

Calculamos os primeiros termos até que o próximo termo seja menor que 5times10^-5, garantindo erro inferior a 0,00005:
T0=(0.5)^11=0,5, T1=-(0.5)^41!,4=-0,015625,
T2=+(0.5)^72!,7approx+0,00055804, T3=-(0.5)^103!,10approx-0,000016276
Aqui lvert T3rvert<5times10^-5, então podemos truncar após T2 (ou incluir T3 para maior precisão). Usando até T3:
S=T0+T1+T2+T3 approx0,5-0,015625+0,00055804-0,000016276 approx0,48491676

Passo 5

Arredondando S para quatro casas decimais, obtemos
integral0^0.5e^-x^3,dxapprox0,4849

Resposta

0,4849

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