Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=theta.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier de
f(theta)=theta, thetain(-pi,pi),
isto é, calcular
hat f(n)=integral-pi^pitheta,e^-i ntheta,dtheta,
para todo inteiro n. Vamos usar definição direta e integrar por partes.

Passo 2

Observe que f(theta)=theta é função ímpar e o fator e^-i ntheta satisfaz
e^-i ntheta=e^i ntheta. Em particular
hat f(0)=integral-pi^pitheta,dtheta=0
pois é integral de função ímpar em intervalo simétrico. Para nneq0 teremos coeficientes puramente imaginários.

Passo 3

Para nneq0 aplicamos integração por partes em
hat f(n)=integral-pi^pitheta,e^-i ntheta,dtheta
Escolhemos
u=theta, dv=e^-i ntheta,dtheta
du=dtheta, v=e^-i ntheta-i n
Logo
integral theta,e^-i ntheta,dtheta =-theta,e^-i nthetai n +integrale^-i nthetai n,dtheta =-theta,e^-i nthetai n -e^-i nthetan^2 +const

Passo 4

Avaliando de -pi a pi obtemos
hat f(n) =l[-theta,e^-i nthetai n-e^-i nthetan^2r]-pi^pi
Separando termos e lembrando que cos(npi)=(-1)^n e sin(npi)=0, conclui-se que a parte de 1/n^2 zera e sobra
hat f(n) =-2pii nl(e^-i npi+e^,i npir) =-2pii n,2(-1)^n =2pi(-1)^n+1i n

Passo 5

Podemos usar tfrac1i=-i para reescrever
(-1)^n+1i n =(-1)^n+1l(-inr) =i(-1)^nn,
de modo que
hat f(n) =2pi i,(-1)^nn, nneq0

Resposta

hat f(0)=0, hat f(n)=2pi(-1)^n+1i n l(equiva<=nte a tfrac2pi i(-1)^nnr), nneq0

Exercícios relacionados