Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções
:
.
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede a transformada de Fourier de
isto é, calcular
para todo inteiro
. Vamos usar definição direta e integrar por partes.
Passo 2
Observe que
é função ímpar e o fator
satisfaz
. Em particular
pois é integral de função ímpar em intervalo simétrico. Para
nneq0 teremos coeficientes puramente imaginários.
Passo 3
Para
nneq0 aplicamos integração por partes em
Escolhemos
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Passo 4
Avaliando de
-pi a
pi obtemos
Separando termos e lembrando que
cos(npi)=(-1)^n e
sin(npi)=0 , conclui-se que a parte de
1/n^2 zera e sobra
Passo 5
Podemos usar
tfrac1i=-i para reescrever
de modo que