Exercício 1. Resolva pelo método de separação de variáveis o problema abaixo, sobre a transmissão de calor na placa D: 0<x<a, 0<y<b, em que os lados y=0 e y=b estão isolados:
l ux x+uy y=0, em D: 0<x<a, 0<y<b u(0, y)=uy(x, 0)=uy(x, b)=0 u(a, y)=y

Passo 1

Temos o problema de Laplace
uxx+uyy=0,(0<x<a,;0<y<b)
com as condições de contorno
u(0,y)=0, u(a,y)=y, uy(x,0)=0, uy(x,b)=0
O método de separação de variáveis consiste em buscar soluções da forma u(x,y)=X(x),Y(y) e em seguida expandir a condição não homogênea u(a,y)=y em séries de autovetores que satisfazem as condições de Neumann em y.

Passo 2

Assumindo u(x,y)=X(x)Y(y), a equação dá
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0 ;Longrightarrow; X''X=-Y''Y=lambda
Para as condições Y'(0)=0 e Y'(b)=0 (lados isolados) temos o problema de Sturm–Liouville
Y''+lambda Y=0, Y'(0)=Y'(b)=0
cujos autovalores e autovetores são
lambdan=l(tfracnpibr)^2, Yn(y)=cos!l(tfracnpi ybr), n=0,1,2,dots

Passo 3

Para cada n a equação em x é
X''-l(tfracnpibr)^2X=0
Caso n=0 isto significa X''=0, logo
X0(x)=C0x+D0
Impondo u(0,y)=0 obtemos D0=0 e fica u0(x,y)=C0,x.
Para n>=1 a solução é
Xn(x)=Ansinh!l(tfracnpi xbr)+Bncosh!l(tfracnpi xbr),
e u(0,y)=0 força Bn=0. Assim
u(x,y)=C0,x+sumn=1^inftyAn,sinh!l(tfracnpi xbr),cos!l(tfracnpi ybr)

Passo 4

Impondo u(a,y)=y escrevemos
y =C0,a +sumn=1^inftyAn,sinh!l(tfracnpi abr),cos!l(tfracnpi ybr)
Expandimos f(y)=y em série de cossenos em [0,b]:
y =A02 +sumn=1^inftyAn^*,cos!l(tfracnpi ybr),
onde
A0 =2bintegral0^by,dy =;b, An^* =2bintegral0^bycos!l(tfracnpi ybr),dy =2bn^2pi^2l[(-1)^n-1r]
Comparando coeficientes em u(a,y) e em f(y)
C0,a=A02=b2 ;Longrightarrow; C0=b2a,
An,sinh!l(tfracnpi abr) =An^* ;Longrightarrow; An =An^*sinh!l(tfracnpi abr) =2bn^2pi^2, (-1)^n-1sinh!l(tfracnpi abr)

Passo 5

Logo a solução fica
u(x,y) =b,x2a +sumn=1^infty 2bn^2pi^2, (-1)^n-1sinh!l(tfracnpi abr) ,sinh!l(tfracnpi xbr), cos!l(tfracnpi ybr)
Como (-1)^n-1=0 para n par e -2 para n ímpar, podemos escrever somente em termos de n=2k-1:
u(x,y) =b,x2a -sumk=1^infty 4b(2k-1)^2pi^2, sinh!l(tfrac(2k-1)pi xbr) sinh!l(tfrac(2k-1)pi abr) cos!l(tfrac(2k-1)pi ybr)

Resposta

boxed u(x,y) =b,x2a -sumk=1^infty 4b(2k-1)^2pi^2 , sinh!l(tfrac(2k-1)pi xbr) sinh!l(tfrac(2k-1)pi abr) , cos!l(tfrac(2k-1)pi ybr)

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