Calcule cada integral:
\int \frac{d x}{\operatorname{sec} 3 x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{\operatorname{sec}(3x)}.
O conteúdo aqui é integração de funções trigonométricas, usando a identidade que relaciona secante e cosseno, e a técnica de substituição para integrar \cos(ax).

Passo 2

Usamos a definição de secante como o recíproco do cosseno. Assim,
\frac{1}{\operatorname{sec}(3x)} = \cos(3x),
e a integral passa a ser
\int \cos(3x)\,dx.

Passo 3

Para integrar \cos(3x), fazemos a substituição
u = 3x \quad\Longrightarrow\quad du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Então
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que \int \cos(u)\,du = \sin(u) + C. Logo,
\frac{1}{3}\int \cos(u)\,du = \frac{1}{3}\sin(u) + C = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\sin(3x) + C

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