3.4T Seja f(x)=2+3 x+4 x^2+cdots=sumn=2^infty n x^n-2, definida para |x|<1. Integrando duas vezes, sucessivamente, esta série de 0 até x, identifique a função f como sendo 2-x(1-x)^2.

Passo 1

O enunciado dá a série
f(x)=2+3x+4x^2+cdots=sumn=2^inftyn,x^n-2,
válida para |x|<1, e pede para, integrando duas vezes de 0 até x, reconhecer em seguida a forma fechada de f(x). Vamos usar a integral termo a termo de séries de potências e depois derivar duas vezes para voltar a f(x).

Passo 2

Definimos
H(x)=integral0^xl(integral0^tf(s),dsr)dt
e integramos termo a termo: primeiro,
integral0^tn,s^n-2ds =nn-1,t^n-1,
depois
integral0^xnn-1,t^n-1dt =nn-1,x^nn =x^n,n-1,
Logo
H(x)=sumn=2^inftyx^nn-1

Passo 3

Fazendo a troca k=n-1, obtém-se
H(x)=sumk=1^inftyx^k+1k =xsumk=1^inftyx^kk =-xln(1-x),
pois sumk=1^infty x^k/k=-ln(1-x) para |x|<1.

Passo 4

Como H''(x)=f(x), derivamos H(x)=-xln(1-x) duas vezes:
H'(x)=-ln(1-x)+x1-x,
H''(x)=11-x+1(1-x)^2 =1-x+1(1-x)^2 =2-x(1-x)^2
Portanto f(x)=H''(x) coincide com 2-x(1-x)^2.

Resposta

f(x)=2-x(1-x)^2

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