3.4T Seja
, definida para
. Integrando duas vezes, sucessivamente, esta série de 0 até
, identifique a função
como sendo
.
Passo 1
O enunciado dá a série
válida para
, e pede para, integrando duas vezes de
até
, reconhecer em seguida a forma fechada de
. Vamos usar a integral termo a termo de séries de potências e depois derivar duas vezes para voltar a
.
Passo 2
Definimos
e integramos termo a termo: primeiro,
depois
Logo
Passo 3
Fazendo a troca
, obtém-se
pois
para
.
Passo 4
Como
, derivamos
duas vezes:
Portanto
coincide com
.