Q. 1 (3,0). Fazendo uso das propriedades dos limites, avalie (sem o uso da regra de L’Hopsital) cada limite abaixo.
lim x -2 x^2+x+1x^2-x-6;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto -2x^2+x+1x^2-x-6
usando propriedades de limites e sem recorrer à regra de L’Hôpital. O ponto x=-2 anula o denominador, sugerindo possível divergência infinita. Para decidir o sinal do infinito, vamos analisar fatores e sinais.

Passo 2

Primeiro, observo o que acontece ao substituir diretamente:
limxto -2(x^2+x+1)=(-2)^2+(-2)+1=3,
limxto -2(x^2-x-6)=(-2)^2-(-2)-6=0
Como o numerador tende a 3neq0 e o denominador tende a 0, o quociente tende a infinito (ou menos infinito). Para saber qual, preciso detalhar o sinal do denominador em cada lado de -2.

Passo 3

Fatoro o denominador:
x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)
Perto de x=-2, o fator (x-3) vale aproximadamente -5 (sempre negativo), enquanto (x+2) muda de sinal conforme x se aproxima por cima ou por baixo de -2.

Passo 4

Análise de sinais:
- Para xto -2^+, temos (x+2)>0 pequeno e (x-3)<0. Logo o denominador (x-3)(x+2) é negativo e de módulo pequeno, enquanto o numerador está próximo de +3. Assim
limxto -2^+x^2+x+1x^2-x-6 = -infty
- Para xto -2^-, temos (x+2)<0 e (x-3)<0, de modo que o denominador é positivo e pequeno, com numerador positivo. Então
limxto -2^-x^2+x+1x^2-x-6 = +infty

Resposta

O limite não existe, pois
limxto -2^-x^2+x+1x^2-x-6=+infty e limxto -2^+x^2+x+1x^2-x-6=-infty

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