Calcule
lim x infty(x+ax-b)^2 x

Passo 1

O enunciado pede
limxtoinftyl(x+ax-br)^2x,
onde a e b são constantes. O tema aqui é cálculo de limites do tipo “base tende a 1 e expoente tende a infinito”, então vamos usar a transformação
L=expl(limxtoinfty2xl[ln(x+a)-ln(x-b)r]r)

Passo 2

Escrevemos a diferença de logaritmos de forma que fique claro o regime xtoinfty:
ln(x+a)-ln(x-b) =lnl(x(1+tfracax)r)-lnl(x(1-tfracbx)r) =ln(1+tfracax)-ln(1-tfracbx)

Passo 3

Para x grande usamos as expansões em série de Taylor até ordem 1/x:
lnl(1+tfracaxr)approx tfracax, lnl(1-tfracbxr)approx -tfracbx
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ln(1+tfracax)-ln(1-tfracbx) approx tfracax + tfracbx = tfraca+bx

Passo 4

Multiplicando por 2x obtemos o expoente do exp:
2xl[ln(1+tfracax)-ln(1-tfracbx)r] approx 2xcdottfraca+bx = 2(a+b)
Como tfraca+bxto0 corrige só em ordem inferior, no limite isso dá exatamente 2(a+b).

Passo 5

Portanto o limite original é
expl(limxtoinfty2x[dots]r) =expl(2(a+b)r)

Resposta

e^2(a+b)

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