3.4U Identifique a função definida pela série
. Idem para
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar as funções geradoras dadas pelas séries
e
. O conteúdo envolve séries geométricas e suas derivadas, e vamos usar as fórmulas básicas de soma de séries infinitas e manipulação de parâmetros.
Passo 2
Para a primeira série, lembramos que, para
,
Derivando em relação a
obtemos
e multiplicando por
resulta
Passo 3
Agora escrevemos
Passo 4
Para a segunda série, fatoramos
e definimos
, de modo que
Passo 5
Sabemos que
Logo,
Multiplicando por
e substituindo
dá
Resposta
(a) Para
:
(b) Para :
(b) Para