3.4U Identifique a função definida pela série sumn=0^infty(n+1) x^n. Idem para sumn=0^infty (n+2) x^n2^n+1.

Passo 1

O enunciado pede para identificar as funções geradoras dadas pelas séries sumn=0^infty(n+1)x^n e sumn=0^infty(n+2)x^n2^n+1. O conteúdo envolve séries geométricas e suas derivadas, e vamos usar as fórmulas básicas de soma de séries infinitas e manipulação de parâmetros.

Passo 2

Para a primeira série, lembramos que, para |x|<1,
sumn=0^inftyx^n=11-x
Derivando em relação a x obtemos
sumn=1^inftyn,x^n-1=1(1-x)^2,
e multiplicando por x resulta
sumn=1^inftyn,x^n=x(1-x)^2

Passo 3

Agora escrevemos
sumn=0^infty(n+1)x^n =sumn=0^inftyn,x^n+sumn=0^inftyx^n =x(1-x)^2+11-x =x+(1-x)(1-x)^2 =1(1-x)^2

Passo 4

Para a segunda série, fatoramos tfrac12 e definimos r=tfracx2, de modo que
sumn=0^infty(n+2)x^n2^n+1 =12sumn=0^infty(n+2),r^n

Passo 5

Sabemos que
sumn=0^inftyn,r^n=r(1-r)^2, sumn=0^inftyr^n=11-r
Logo,
sumn=0^infty(n+2)r^n =r(1-r)^2+21-r =r+2(1-r)(1-r)^2 =2-r(1-r)^2
Multiplicando por tfrac12 e substituindo r=tfracx2
sumn=0^infty(n+2)x^n2^n+1 =2-tfracx22,(1-tfracx2)^2 =4-x4,(1-tfracx2)^2

Resposta

(a) Para |x|<1: sumn=0^infty(n+1)x^n=1(1-x)^2
(b) Para |x|<2: sumn=0^infty(n+2)x^n2^n+1 =4-x4,(1-tfracx2)^2

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