Calcule
lim x infty(3 x+a3 x-b)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limx to inftyl(3x + a3x - br)^x,
onde a e b são constantes. O conteúdo principal aqui é reconhecer uma forma do tipo (1 + tfracalgox)^x, que converge para um exponencial. Vamos usar expansão de logaritmo para encontrar o expoente.

Passo 2

Reescrevemos o quociente de modo a evidenciar a forma 1 + tfraccdotx. Dividindo numerador e denominador por 3x, obtemos
3x + a3x - b = 1 + tfraca3x1 - tfracb3x

Passo 3

Tomamos o logaritmo natural da potência para reduzir ao produto:
lnl(l(tfrac3x + a3x - br)^xr) = xl[lnl(1 + tfraca3xr);-;lnl(1 - tfracb3xr)r]
Para xtoinfty, usamos as expansões
lnl(1 + tfraca3xr)sim tfraca3x, lnl(1 - tfracb3xr)sim -tfracb3x

Passo 4

Substituindo as expansões dentro do colchete,
xl[tfraca3x - l(-tfracb3xr)r] = xcdottfraca + b3x = a + b3
Logo, o logaritmo da expressão tende a tfraca + b3.

Passo 5

Voltando da forma logaritmada, o limite original é
expl(tfraca + b3r)

Resposta

limx to inftyl(3x + a3x - br)^x = e^tfraca + b3

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