Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=|sen theta|.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a série de Fourier (às vezes chamada transformada de Fourier de funções periódicas) de
f(theta)=l|senthetar|,
definida em -pi<theta<pi. Vamos usar que f é 2pi-periódica e aplicar a fórmula dos coeficientes de Fourier no intervalo [-pi,pi].

Passo 2

Como f é uma função par ( f(-theta)=f(theta)), na série de Fourier só aparecem termos em cosseno. Escrevemos
f(theta)=a02+sumn=1^inftyancos(ntheta),
onde
an =1piintegral-pi^pif(theta)cos(ntheta),dtheta (n>=0),
e todos os coeficientes de seno bn são nulos.

Passo 3

Calculamos primeiro a0:
a0 =1piintegral-pi^pil|senthetar|,dtheta =2piintegral0^pisentheta,dtheta =2pil[-costhetar]0^pi =2pi,(2) =4pi

Passo 4

Para n>=1, usamos
an =1piintegral-pi^pil|senthetar|cos(ntheta),dtheta =2piintegral0^pisenthetacos(ntheta),dtheta,
pois em [0,pi] vale l|senthetar|=sentheta.

Passo 5

Avaliamo-mos
Usando a identidade
que é zero se é par e se é ímpar, encontramos após simplificar
é par},\[6pt] 0,&se é ímpar. \end{cases}]]

Passo 6

Então
an =2pi,I(n) = dfrac4pi(1-n^2) =-4pi(n^2-1),&n par,[6pt] 0,&n ímpar í]

Passo 7

Reescrevendo em termos de m com n=2m,
a2m =-4pil((2m)^2-1r) =-4pi(4m^2-1), a2m+1=0,
e a0=4/pi. Assim a série de Fourier é
l|senthetar| =a02+summ=1^inftya2mcos(2mtheta) =2pi -4pisumm=1^inftycos(2mtheta)4m^2-1

Resposta

boxed l|senthetar| =2pi -4pisumm=1^inftycos(2mtheta)4m^2-1 ,

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