Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções
:
.
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede para calcular a série de Fourier (às vezes chamada transformada de Fourier de funções periódicas) de
definida em
-pi<theta<pi . Vamos usar que
f é
2pi -periódica e aplicar a fórmula dos coeficientes de Fourier no intervalo
[-pi,pi] .
Passo 2
Como
f é uma função par (
f(-theta)=f(theta) ), na série de Fourier só aparecem termos em cosseno. Escrevemos
onde
e todos os coeficientes de seno
bn são nulos.
Passo 3
Calculamos primeiro
a0 :
Passo 4
Para
n>=1 , usamos
pois em
[0,pi] vale
l|senthetar|=sentheta .
Passo 5
Avaliamo-mos
Usando a identidade
que é zero se
é par e
se
é ímpar, encontramos após simplificar
é par},\[6pt] 0,&se
é ímpar. \end{cases}]]
Passo 6
Então
Passo 7
Reescrevendo em termos de
m com
n=2m ,
e
a0=4/pi . Assim a série de Fourier é