Exercício 15 (F.2.1 Exs.)
Calcule a transformada de Fourier das seguintes funções f:]-pi, pi[ C :
f(theta)=theta^2.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Fourier da função
fcolon;]-pi,pi[;longrightarrow;C, f(theta)=theta^2,
ou seja, queremos
F(n);=;integral-pi^pitheta^2,e^-i ntheta,dtheta, ninZ
Para resolver vamos usar que f é uma função par, o que elimina as partes ímpares, e calcular a integral em [0,pi] por partes.

Passo 2

Como theta^2 é par, e^-i ntheta=cos(ntheta)-isin(ntheta) tem a parte ímpar sin(ntheta) que integra zero. Assim
F(n) =integral-pi^pitheta^2e^-i nthetadtheta =2integral0^pitheta^2cos(ntheta),dtheta

Passo 3

Calculemos
In=integral0^pitheta^2cos(ntheta),dtheta
por partes duas vezes. Primeiro, tome
u=theta^2, dv=cos(ntheta)dtheta ;Longrightarrow; du=2theta,dtheta, v=sin(ntheta)n
Então
In =[theta^2sin(ntheta)n]0^pi -integral0^pisin(ntheta)n,2theta,dtheta =pi^2sin(npi)n -2nintegral0^pithetasin(ntheta),dtheta
Mas sin(npi)=0, então
In =-2nintegral0^pithetasin(ntheta),dtheta

Passo 4

Agora para
Jn=integral0^pithetasin(ntheta),dtheta
faça outra integração por partes com
u=theta, dv=sin(ntheta)dtheta ;Longrightarrow; du=dtheta, v=-cos(ntheta)n
Assim
Jn =[-thetacos(ntheta)n]0^pi +1nintegral0^picos(ntheta),dtheta =-picos(npi)n +1n[sin(ntheta)n]0^pi
Como sin(npi)=0, fica
Jn=-pi(-1)^nn
Logo
In =-2nJn =-2nl(-pi(-1)^nnr) =2pi(-1)^nn^2

Passo 5

Voltando a F(n)=2In, obtemos, para nneq0,
F(n) =2cdot2pi(-1)^nn^2 =4pi(-1)^nn^2
Para n=0 basta calcular diretamente
F(0)=integral-pi^pitheta^2,dtheta =2integral0^pitheta^2,dtheta =2cdotpi^33 =2pi^33

Resposta

F(n) = integral-pi^pi theta^2 e^-i n theta , dtheta = dfrac2 pi^33, & n=0, [1em] dfrac4 pi (-1)^nn^2, & n neq 0 ]

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