4)Um muro,com 6 metros de comprimento,será aproveitado como parte de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir.Para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca.Determine as dimenões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá.

Passo 1

O enunciado diz que há um muro de 6 m de comprimento que será usado para compor parte de um dos lados de um cercado retangular. O criador dispõe de 34 m de cerca para completar o contorno (incluindo eventual extensão desse lado). Queremos escolher as dimensões do retângulo de modo a maximizar sua área. Para isso vamos:
1. Definir variáveis que representem a profundidade x (lados perpendiculares ao muro) e o comprimento total L paralelo ao muro.
2. Escrever a restrição do quanto de cerca é usado em função de x e L.
3. Expressar a área A(x,L) e reduzir a um problema de uma única variável.
4. Encontrar o máximo usando cálculo de vértice de parábola.

Passo 2

Vamos chamar de x a profundidade do cercado (cada lado perpendicular ao muro) e de L o comprimento total do lado paralelo ao muro. A cerca necessária tem três partes:
– o lado de trás, inteiro de comprimento L,
– os dois lados perpendiculares, de comprimento x cada,
– a parte do lado junto ao muro que ultrapassa o muro: isso é (L-6) se L>6.
Logo o total de cerca usado satisfaz
L ;+; 2x ;+;(L - 6);=;34

Passo 3

Da equação da cerca temos
2L + 2x - 6 = 34 Longrightarrow 2L + 2x = 40 Longrightarrow L + x = 20 Longrightarrow L = 20 - x

Passo 4

A área do retângulo é
A = x cdot L = x,(20 - x) = 20x - x^2
Isso é uma parábola em x, concava para baixo. O vértice ocorre em
x = -b2a com A(x)= -x^2 + 20x,
ou seja
x = -202cdot(-1) = 10
Então a profundidade que maximiza a área é x=10 m e, pela restrição,
L = 20 - x = 20 - 10 = 10 m

Passo 5

Verificação do uso da cerca:
– lado de trás: L=10 m,
– dois lados de profundidade: 2cdot10=20 m,
– parte do lado junto ao muro além dos 6 m: 10-6=4 m,
soma 10+20+4=34 m, conforme disponível.
A área máxima vale Amax=10cdot10=100 m^2.

Resposta

As dimensões do cercado de maior área são 10 m de profundidade por 10 m de comprimento paralelo ao muro.

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