4)Um muro,com 6 metros de comprimento,será aproveitado como parte de um dos lados do cercado retangular que certo criador precisa construir.Para completar o contorno desse cercado o criador usará 34 metros de cerca.Determine as dimenões do cercado retangular de maior área possível que o criador poderá.
Passo 1
O enunciado diz que há um muro de
m de comprimento que será usado para compor parte de um dos lados de um cercado retangular. O criador dispõe de
m de cerca para completar o contorno (incluindo eventual extensão desse lado). Queremos escolher as dimensões do retângulo de modo a maximizar sua área. Para isso vamos:
. Definir variáveis que representem a profundidade
(lados perpendiculares ao muro) e o comprimento total
paralelo ao muro.
. Escrever a restrição do quanto de cerca é usado em função de
e
.
. Expressar a área
e reduzir a um problema de uma única variável.
. Encontrar o máximo usando cálculo de vértice de parábola.
Passo 2
Vamos chamar de
a profundidade do cercado (cada lado perpendicular ao muro) e de
o comprimento total do lado paralelo ao muro. A cerca necessária tem três partes:
– o lado de trás, inteiro de comprimento ,
– os dois lados perpendiculares, de comprimento cada,
– a parte do lado junto ao muro que ultrapassa o muro: isso é se
.
Logo o total de cerca usado satisfaz
– o lado de trás, inteiro de comprimento
– os dois lados perpendiculares, de comprimento
– a parte do lado junto ao muro que ultrapassa o muro: isso é
Logo o total de cerca usado satisfaz
Passo 3
Da equação da cerca temos
Passo 4
A área do retângulo é
Isso é uma parábola em
, concava para baixo. O vértice ocorre em
ou seja
Então a profundidade que maximiza a área é
m e, pela restrição,
Passo 5
Verificação do uso da cerca:
– lado de trás: m,
– dois lados de profundidade: m,
– parte do lado junto ao muro além dos m:
m,
soma m, conforme disponível.
– lado de trás:
– dois lados de profundidade:
– parte do lado junto ao muro além dos
soma
A área máxima vale
.
Resposta
As dimensões do cercado de maior área são
de profundidade por
de comprimento paralelo ao muro.