Calcule o comprimento do arco da curva dado nos exercícios abaixo, fazendo um esboço do arco e indicando com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
lx=3 s^2 y=s^3+4 do ponto (0,4) ao ponto (12,12).

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
x=3s^2, y=s^3+4
do ponto (0,4) ao ponto (12,12).
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica, usando a fórmula
L=integrals1^s2raizl(dxdsr)^2+l(dydsr)^2;ds

Passo 2

Identificamos os valores de s nos pontos dados. Para (0,4):
3s^2=0implies s=0, y=s^3+4=4 (ok)
Para (12,12):
3s^2=12implies s^2=4implies s=pm2,
mas como s=2 y=2^3+4=12, escolhemos s=2.
Logo, s1=0 e s2=2.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
dxds=6s, dyds=3s^2
O integrando fica
raiz(6s)^2+(3s^2)^2 =raiz36s^2+9s^4 =raiz9s^2(4+s^2) =3,|s|,raiz4+s^2
No intervalo 0<= s<=2, temos |s|=s, logo o integrando é 3sraiz4+s^2.

Passo 4

Calculamos
L=integral0^23sraiz4+s^2;ds
Use a substituição u=4+s^2, du=2s,ds:
L =3integral0^2sraiz4+s^2,ds =32integralu=4^8raizu,du =32cdot23l[u^3/2r]4^8 =l[,u^3/2r]4^8 =8^3/2-4^3/2

Passo 5

Calculando 8^3/2=(raiz8)^3=(2raiz2)^3=16raiz2 e 4^3/2=(raiz4)^3=8, obtemos
L=16raiz2-8

Passo 6

Esboço aproximado da curva no plano , com seta indicando o sentido de crescente (de em até em ):
     y
     |
\(12\)   |             \(\bullet\)(\(12,12\))
     |            /
     |           /\(\to 8\)  |         /
     |       /
  \(4\bullet\)(\(0,4\))----\(\to\) x
     \(+\)----------------
\[0612\]
A seta ao longo da curva mostra a direção em que aumenta, isto é, de para .

Resposta

L=16raiz2 - 8

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