Calcule o comprimento do arco da curva dado nos exercícios abaixo, fazendo um esboço do arco e indicando com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
do ponto
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
do ponto
ao ponto
.
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica, usando a fórmula
Conteúdo: comprimento de arco de curva paramétrica, usando a fórmula
Passo 2
Identificamos os valores de
nos pontos dados. Para
:
Para
:
mas como
dá
, escolhemos
.
Logo, e
.
Logo,
Passo 3
Calculamos as derivadas:
O integrando fica
No intervalo
, temos
, logo o integrando é
.
Passo 4
Calculamos
Use a substituição
,
:
Passo 5
Calculando
e
, obtemos
Passo 6
Esboço aproximado da curva no plano
, com seta indicando o sentido de
crescente (de
em
até
em
):
y
|
\(12\) | \(\bullet\)(\(12,12\))
| /
| /\(\to 8\) | /
| /
\(4\bullet\)(\(0,4\))----\(\to\) x
\(+\)----------------
\[0612\]
A seta ao longo da curva mostra a direção em que
aumenta, isto é, de
para
.