Para cada uma das funções dadas a seguir,determine o valor máximo e valor mínimo(absolutos), se existirem:
p(x)= x^2-2 x & se -1 <= x <= 0 -x+1 & se 0<x<5

Passo 1

O enunciado dá a função
p(x)= x^2-2x, & -1<= x<= 0, -,x+1, & 0 < x < 5,
e pede os extremos absolutos. Para isso, vamos:
  1. analisar pontos críticos e extremos em cada ramo;
  2. avaliar os valores nos extremos do domínio (incluídos ou limites em fronteiras abertas);
  3. comparar para determinar máximo e mínimo absolutos.

Passo 2

No intervalo [-1,0] temos
p1(x)=x^2-2x
Calculamos a derivada
p1'(x)=2x-2,
e resolvemos p1'(x)=0, obtendo x=1, que não pertence a [-1,0]. Logo, não há pontos críticos internos. Sobram os extremos do intervalo:
p1(-1)=(-1)^2-2(-1)=1+2=3,
p1(0)=0^2-2cdot0=0

Passo 3

No intervalo (0,5) temos
p2(x)=-,x+1
A derivada é
p2'(x)=-1<0,
portanto p2 é estritamente decrescente. Não há pontos críticos internos. Nos limites da fronteira aberta:
  • Quando xto0^+,
    p2(x)to1, porém x=0 não pertence a este ramo.
  • Quando xto5^-,
    p2(x)to-4, porém x=5 também não está no domínio.

Passo 4

Reunindo os valores:
  • No ramo [-1,0], p toma valores em 0,3.
  • No ramo (0,5), p varia em (-4,1), sem atingir -4 nem 1.
Portanto o supremo de p no domínio é 3 (atingido em x=-1), e o ínfimo é -4 (não atingido em nenhum xin(0,5)).

Resposta

Máximo absoluto: 3, atingido em x=-1.
Mínimo absoluto: não existe (infimum igual a -4, não atingido).

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